Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11245 / 3070
↖ ↑ ↗
← N 74.031637°
E 67.082520°		 ← 672.14 m → N 74.031637°
E 67.104492°		 →
↑
672.27 m
↓
↑
672.27 m
↓
N 74.025591°
E 67.082520°		 ← 672.39 m →
451 944 m²		 N 74.025591°
E 67.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686370849609375 y=0.187408447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686370849609375 × 214)
    floor (0.686370849609375 × 16384)
    floor (11245.5)     		tx = 11245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187408447265625 × 214)
    floor (0.187408447265625 × 16384)
    floor (3070.5)     		ty = 3070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11245 / 3070 ti = "14/11245/3070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11245/3070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11245 ÷ 214
    11245 ÷ 16384     		x = 0.68634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3070 ÷ 214
    3070 ÷ 16384     		y = 0.1873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68634033203125 × 2 - 1) × π
    0.3726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17081084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1873779296875 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96426239883142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17081084} λ = 1.17081084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96426239883142))-π/2
    2×atan(7.12965181071128)-π/2
    2×1.43144607513282-π/2
    2.86289215026564-1.57079632675     		φ = 1.29209582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17081084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.082520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29209582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.031637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11245 KachelY 3070 1.17081084 1.29209582 67.082520 74.031637
    Oben rechts KachelX + 1 11246 KachelY 3070 1.17119433 1.29209582 67.104492 74.031637
    Unten links KachelX 11245 KachelY + 1 3071 1.17081084 1.29199030 67.082520 74.025591
    Unten rechts KachelX + 1 11246 KachelY + 1 3071 1.17119433 1.29199030 67.104492 74.025591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29209582-1.29199030) × R
    0.00010551999999997 × 6371000     		dl = 672.267919999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29209582-1.29199030) × R
    0.00010551999999997 × 6371000     		dr = 672.267919999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17081084-1.17119433) × cos(1.29209582) × R
    0.000383490000000153 × 0.275106530565343 × 6371000     		do = 672.144344303101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17081084-1.17119433) × cos(1.29199030) × R
    0.000383490000000153 × 0.275207977412371 × 6371000     		du = 672.392200740158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29209582)-sin(1.29199030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275106530565343-0.275207977412371)×R²
    abs(1.17119433-1.17081084)×0.000101446847027509×R²
    0.000383490000000153×0.000101446847027509×6371000²
    0.000383490000000153×0.000101446847027509×40589641000000     		ar = 451944.393670705m²