Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11243 / 19540
↖ ↑ ↗
← S 32.731841°
W 56.480713°		 ← 1 027.60 m → S 32.731841°
W 56.469727°		 →
↑
1 027.64 m
↓
↑
1 027.64 m
↓
S 32.741082°
W 56.480713°		 ← 1 027.50 m →
1 055 953 m²		 S 32.741082°
W 56.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343124389648438 y=0.596328735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343124389648438 × 215)
    floor (0.343124389648438 × 32768)
    floor (11243.5)     		tx = 11243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596328735351562 × 215)
    floor (0.596328735351562 × 32768)
    floor (19540.5)     		ty = 19540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11243 / 19540 ti = "15/11243/19540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11243/19540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11243 ÷ 215
    11243 ÷ 32768     		x = 0.343109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19540 ÷ 215
    19540 ÷ 32768     		y = 0.5963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.31378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98577440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.192626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.605155420803589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98577440} λ = -0.98577440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605155420803589))-π/2
    2×atan(0.545989561908545)-π/2
    2×0.499758966460103-π/2
    0.999517932920207-1.57079632675     		φ = -0.57127839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98577440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57127839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.731841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11243 KachelY 19540 -0.98577440 -0.57127839 -56.480713 -32.731841
    Oben rechts KachelX + 1 11244 KachelY 19540 -0.98558266 -0.57127839 -56.469727 -32.731841
    Unten links KachelX 11243 KachelY + 1 19541 -0.98577440 -0.57143969 -56.480713 -32.741082
    Unten rechts KachelX + 1 11244 KachelY + 1 19541 -0.98558266 -0.57143969 -56.469727 -32.741082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57127839--0.57143969) × R
    0.00016129999999992 × 6371000     		dl = 1027.64229999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57127839--0.57143969) × R
    0.00016129999999992 × 6371000     		dr = 1027.64229999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98577440--0.98558266) × cos(-0.57127839) × R
    0.000191739999999996 × 0.841210427184105 × 6371000     		do = 1027.60208184103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98577440--0.98558266) × cos(-0.57143969) × R
    0.000191739999999996 × 0.841123200059413 × 6371000     		du = 1027.49552731908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57127839)-sin(-0.57143969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841210427184105-0.841123200059413)×R²
    abs(-0.98558266--0.98577440)×8.72271246923351e-05×R²
    0.000191739999999996×8.72271246923351e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.72271246923351e-05×40589641000000     		ar = 1055952.61918935m²