Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11240 / 19522
↖ ↑ ↗
← S 32.565333°
W 56.513672°		 ← 1 029.57 m → S 32.565333°
W 56.502686°		 →
↑
1 029.49 m
↓
↑
1 029.49 m
↓
S 32.574592°
W 56.513672°		 ← 1 029.46 m →
1 059 878 m²		 S 32.574592°
W 56.502686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343032836914062 y=0.595779418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343032836914062 × 215)
    floor (0.343032836914062 × 32768)
    floor (11240.5)     		tx = 11240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595779418945312 × 215)
    floor (0.595779418945312 × 32768)
    floor (19522.5)     		ty = 19522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11240 / 19522 ti = "15/11240/19522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11240/19522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11240 ÷ 215
    11240 ÷ 32768     		x = 0.343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19522 ÷ 215
    19522 ÷ 32768     		y = 0.59576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.601703964030945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98634965} λ = -0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601703964030945))-π/2
    2×atan(0.547877277089502)-π/2
    2×0.501212020571911-π/2
    1.00242404114382-1.57079632675     		φ = -0.56837229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56837229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.565333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11240 KachelY 19522 -0.98634965 -0.56837229 -56.513672 -32.565333
    Oben rechts KachelX + 1 11241 KachelY 19522 -0.98615790 -0.56837229 -56.502686 -32.565333
    Unten links KachelX 11240 KachelY + 1 19523 -0.98634965 -0.56853388 -56.513672 -32.574592
    Unten rechts KachelX + 1 11241 KachelY + 1 19523 -0.98615790 -0.56853388 -56.502686 -32.574592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56837229--0.56853388) × R
    0.000161590000000045 × 6371000     		dl = 1029.48989000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56837229--0.56853388) × R
    0.000161590000000045 × 6371000     		dr = 1029.48989000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98634965--0.98615790) × cos(-0.56837229) × R
    0.000191749999999935 × 0.842778223973703 × 6371000     		do = 1029.57095745122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98634965--0.98615790) × cos(-0.56853388) × R
    0.000191749999999935 × 0.842691235381905 × 6371000     		du = 1029.46468877318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56837229)-sin(-0.56853388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842778223973703-0.842691235381905)×R²
    abs(-0.98615790--0.98634965)×8.69885917980096e-05×R²
    0.000191749999999935×8.69885917980096e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.69885917980096e-05×40589641000000     		ar = 1059878.19277595m²