Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1124 / 620
↖ ↑ ↗
← N 82.045740°
W130.605469°		 ← 676.21 m → N 82.045740°
W130.561523°		 →
↑
676.47 m
↓
↑
676.47 m
↓
N 82.039656°
W130.605469°		 ← 676.72 m →
457 608 m²		 N 82.039656°
W130.561523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13726806640625 y=0.07574462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13726806640625 × 213)
    floor (0.13726806640625 × 8192)
    floor (1124.5)     		tx = 1124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07574462890625 × 213)
    floor (0.07574462890625 × 8192)
    floor (620.5)     		ty = 620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1124 / 620 ti = "13/1124/620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1124/620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1124 ÷ 213
    1124 ÷ 8192     		x = 0.13720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 620 ÷ 213
    620 ÷ 8192     		y = 0.07568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    -0.7255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27949545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07568359375 × 2 - 1) × π
    0.8486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66605860926904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27949545} λ = -2.27949545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66605860926904))-π/2
    2×atan(14.383167644152)-π/2
    2×1.50138231405238-π/2
    3.00276462810476-1.57079632675     		φ = 1.43196830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27949545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43196830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.045740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1124 KachelY 620 -2.27949545 1.43196830 -130.605469 82.045740
    Oben rechts KachelX + 1 1125 KachelY 620 -2.27872846 1.43196830 -130.561523 82.045740
    Unten links KachelX 1124 KachelY + 1 621 -2.27949545 1.43186212 -130.605469 82.039656
    Unten rechts KachelX + 1 1125 KachelY + 1 621 -2.27872846 1.43186212 -130.561523 82.039656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43196830-1.43186212) × R
    0.000106180000000178 × 6371000     		dl = 676.472780001133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43196830-1.43186212) × R
    0.000106180000000178 × 6371000     		dr = 676.472780001133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27949545--2.27872846) × cos(1.43196830) × R
    0.000766990000000245 × 0.138382512462372 × 6371000     		do = 676.205218600939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27949545--2.27872846) × cos(1.43186212) × R
    0.000766990000000245 × 0.138487670109127 × 6371000     		du = 676.719070736201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43196830)-sin(1.43186212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138382512462372-0.138487670109127)×R²
    abs(-2.27872846--2.27949545)×0.000105157646755394×R²
    0.000766990000000245×0.000105157646755394×6371000²
    0.000766990000000245×0.000105157646755394×40589641000000     		ar = 457608.227999212m²