Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1124 / 3266
↖ ↑ ↗
← S 72.448791°
W 81.210938°		 ← 2 947.12 m → S 72.448791°
W 81.123047°		 →
↑
2 944.99 m
↓
↑
2 944.99 m
↓
S 72.475276°
W 81.210938°		 ← 2 942.82 m →
8 672 919 m²		 S 72.475276°
W 81.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2745361328125 y=0.7974853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2745361328125 × 212)
    floor (0.2745361328125 × 4096)
    floor (1124.5)     		tx = 1124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7974853515625 × 212)
    floor (0.7974853515625 × 4096)
    floor (3266.5)     		ty = 3266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1124 / 3266 ti = "12/1124/3266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1124/3266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1124 ÷ 212
    1124 ÷ 4096     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3266 ÷ 212
    3266 ÷ 4096     		y = 0.79736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79736328125 × 2 - 1) × π
    -0.5947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86838859959131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86838859959131))-π/2
    2×atan(0.154372216953912)-π/2
    2×0.153163187522464-π/2
    0.306326375044928-1.57079632675     		φ = -1.26446995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26446995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.448791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1124 KachelY 3266 -1.41739825 -1.26446995 -81.210938 -72.448791
    Oben rechts KachelX + 1 1125 KachelY 3266 -1.41586427 -1.26446995 -81.123047 -72.448791
    Unten links KachelX 1124 KachelY + 1 3267 -1.41739825 -1.26493220 -81.210938 -72.475276
    Unten rechts KachelX + 1 1125 KachelY + 1 3267 -1.41586427 -1.26493220 -81.123047 -72.475276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26446995--1.26493220) × R
    0.000462249999999997 × 6371000     		dl = 2944.99474999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26446995--1.26493220) × R
    0.000462249999999997 × 6371000     		dr = 2944.99474999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41586427) × cos(-1.26446995) × R
    0.00153398000000005 × 0.30155807115291 × 6371000     		do = 2947.12298246816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41586427) × cos(-1.26493220) × R
    0.00153398000000005 × 0.301117307699907 × 6371000     		du = 2942.81540715701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26446995)-sin(-1.26493220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30155807115291-0.301117307699907)×R²
    abs(-1.41586427--1.41739825)×0.000440763453003146×R²
    0.00153398000000005×0.000440763453003146×6371000²
    0.00153398000000005×0.000440763453003146×40589641000000     		ar = 8672918.97206675m²