Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11239 / 3065
↖ ↑ ↗
← N 74.061834°
E 66.950684°		 ← 670.91 m → N 74.061834°
E 66.972656°		 →
↑
671.06 m
↓
↑
671.06 m
↓
N 74.055799°
E 66.950684°		 ← 671.15 m →
450 300 m²		 N 74.055799°
E 66.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686004638671875 y=0.187103271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686004638671875 × 214)
    floor (0.686004638671875 × 16384)
    floor (11239.5)     		tx = 11239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187103271484375 × 214)
    floor (0.187103271484375 × 16384)
    floor (3065.5)     		ty = 3065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11239 / 3065 ti = "14/11239/3065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11239/3065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11239 ÷ 214
    11239 ÷ 16384     		x = 0.68597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3065 ÷ 214
    3065 ÷ 16384     		y = 0.18707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68597412109375 × 2 - 1) × π
    0.3719482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.16850987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18707275390625 × 2 - 1) × π
    0.6258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96617987481622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16850987} λ = 1.16850987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96617987481622))-π/2
    2×atan(7.14333586206555)-π/2
    2×1.43170958723492-π/2
    2.86341917446983-1.57079632675     		φ = 1.29262285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16850987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.950684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29262285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.061834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11239 KachelY 3065 1.16850987 1.29262285 66.950684 74.061834
    Oben rechts KachelX + 1 11240 KachelY 3065 1.16889336 1.29262285 66.972656 74.061834
    Unten links KachelX 11239 KachelY + 1 3066 1.16850987 1.29251752 66.950684 74.055799
    Unten rechts KachelX + 1 11240 KachelY + 1 3066 1.16889336 1.29251752 66.972656 74.055799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29262285-1.29251752) × R
    0.000105330000000015 × 6371000     		dl = 671.057430000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29262285-1.29251752) × R
    0.000105330000000015 × 6371000     		dr = 671.057430000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16850987-1.16889336) × cos(1.29262285) × R
    0.000383489999999931 × 0.274599798493764 × 6371000     		do = 670.906289010863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16850987-1.16889336) × cos(1.29251752) × R
    0.000383489999999931 × 0.27470107793817 × 6371000     		du = 671.153736447359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29262285)-sin(1.29251752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274599798493764-0.27470107793817)×R²
    abs(1.16889336-1.16850987)×0.000101279444406188×R²
    0.000383489999999931×0.000101279444406188×6371000²
    0.000383489999999931×0.000101279444406188×40589641000000     		ar = 450299.676210005m²