Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11239 / 19521
↖ ↑ ↗
← S 32.556074°
W 56.524658°		 ← 1 029.62 m → S 32.556074°
W 56.513672°		 →
↑
1 029.62 m
↓
↑
1 029.62 m
↓
S 32.565333°
W 56.524658°		 ← 1 029.52 m →
1 060 063 m²		 S 32.565333°
W 56.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343002319335938 y=0.595748901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343002319335938 × 215)
    floor (0.343002319335938 × 32768)
    floor (11239.5)     		tx = 11239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595748901367188 × 215)
    floor (0.595748901367188 × 32768)
    floor (19521.5)     		ty = 19521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11239 / 19521 ti = "15/11239/19521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11239/19521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11239 ÷ 215
    11239 ÷ 32768     		x = 0.342987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19521 ÷ 215
    19521 ÷ 32768     		y = 0.595733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.31402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98654139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.19146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.601512216432465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98654139} λ = -0.98654139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601512216432465))-π/2
    2×atan(0.54798234131423)-π/2
    2×0.501292825091889-π/2
    1.00258565018378-1.57079632675     		φ = -0.56821068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98654139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.524658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56821068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.556074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11239 KachelY 19521 -0.98654139 -0.56821068 -56.524658 -32.556074
    Oben rechts KachelX + 1 11240 KachelY 19521 -0.98634965 -0.56821068 -56.513672 -32.556074
    Unten links KachelX 11239 KachelY + 1 19522 -0.98654139 -0.56837229 -56.524658 -32.565333
    Unten rechts KachelX + 1 11240 KachelY + 1 19522 -0.98634965 -0.56837229 -56.513672 -32.565333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56821068--0.56837229) × R
    0.000161610000000034 × 6371000     		dl = 1029.61731000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56821068--0.56837229) × R
    0.000161610000000034 × 6371000     		dr = 1029.61731000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98654139--0.98634965) × cos(-0.56821068) × R
    0.000191739999999996 × 0.842865201321938 × 6371000     		do = 1029.62351345203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98654139--0.98634965) × cos(-0.56837229) × R
    0.000191739999999996 × 0.842778223973703 × 6371000     		du = 1029.51726405089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56821068)-sin(-0.56837229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842865201321938-0.842778223973703)×R²
    abs(-0.98634965--0.98654139)×8.69773482345959e-05×R²
    0.000191739999999996×8.69773482345959e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.69773482345959e-05×40589641000000     		ar = 1060063.49642908m²