Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11238 / 23690
↖ ↑ ↗
← S 62.319003°
W 56.535644°		 ← 567.51 m → S 62.319003°
W 56.524658°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
S 62.324106°
W 56.535644°		 ← 567.41 m →
321 979 m²		 S 62.324106°
W 56.524658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342971801757812 y=0.722976684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342971801757812 × 215)
    floor (0.342971801757812 × 32768)
    floor (11238.5)     		tx = 11238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722976684570312 × 215)
    floor (0.722976684570312 × 32768)
    floor (23690.5)     		ty = 23690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11238 / 23690 ti = "15/11238/23690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11238/23690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11238 ÷ 215
    11238 ÷ 32768     		x = 0.34295654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23690 ÷ 215
    23690 ÷ 32768     		y = 0.72296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98673314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.4459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40090795449652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98673314} λ = -0.98673314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40090795449652))-π/2
    2×atan(0.246373166733582)-π/2
    2×0.241562270818869-π/2
    0.483124541637739-1.57079632675     		φ = -1.08767179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98673314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.535644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08767179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.319003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11238 KachelY 23690 -0.98673314 -1.08767179 -56.535644 -62.319003
    Oben rechts KachelX + 1 11239 KachelY 23690 -0.98654139 -1.08767179 -56.524658 -62.319003
    Unten links KachelX 11238 KachelY + 1 23691 -0.98673314 -1.08776085 -56.535644 -62.324106
    Unten rechts KachelX + 1 11239 KachelY + 1 23691 -0.98654139 -1.08776085 -56.524658 -62.324106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08767179--1.08776085) × R
    8.90600000000852e-05 × 6371000     		dl = 567.401260000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08767179--1.08776085) × R
    8.90600000000852e-05 × 6371000     		dr = 567.401260000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98673314--0.98654139) × cos(-1.08767179) × R
    0.000191750000000046 × 0.464548365194198 × 6371000     		do = 567.510516444703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98673314--0.98654139) × cos(-1.08776085) × R
    0.000191750000000046 × 0.464469496469419 × 6371000     		du = 567.414167314915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08767179)-sin(-1.08776085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464548365194198-0.464469496469419)×R²
    abs(-0.98654139--0.98673314)×7.88687247791353e-05×R²
    0.000191750000000046×7.88687247791353e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.88687247791353e-05×40589641000000     		ar = 321978.847997791m²