Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11235 / 23697
↖ ↑ ↗
← S 62.354708°
W 56.568603°		 ← 566.81 m → S 62.354708°
W 56.557617°		 →
↑
566.76 m
↓
↑
566.76 m
↓
S 62.359805°
W 56.568603°		 ← 566.71 m →
321 218 m²		 S 62.359805°
W 56.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342880249023438 y=0.723190307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342880249023438 × 215)
    floor (0.342880249023438 × 32768)
    floor (11235.5)     		tx = 11235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723190307617188 × 215)
    floor (0.723190307617188 × 32768)
    floor (23697.5)     		ty = 23697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11235 / 23697 ti = "15/11235/23697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11235/23697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11235 ÷ 215
    11235 ÷ 32768     		x = 0.342864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23697 ÷ 215
    23697 ÷ 32768     		y = 0.723175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98730838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.44635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40225018768588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98730838} λ = -0.98730838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40225018768588))-π/2
    2×atan(0.246042698324672)-π/2
    2×0.241250689930271-π/2
    0.482501379860541-1.57079632675     		φ = -1.08829495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98730838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08829495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.354708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11235 KachelY 23697 -0.98730838 -1.08829495 -56.568603 -62.354708
    Oben rechts KachelX + 1 11236 KachelY 23697 -0.98711664 -1.08829495 -56.557617 -62.354708
    Unten links KachelX 11235 KachelY + 1 23698 -0.98730838 -1.08838391 -56.568603 -62.359805
    Unten rechts KachelX + 1 11236 KachelY + 1 23698 -0.98711664 -1.08838391 -56.557617 -62.359805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08829495--1.08838391) × R
    8.89599999998048e-05 × 6371000     		dl = 566.764159998756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08829495--1.08838391) × R
    8.89599999998048e-05 × 6371000     		dr = 566.764159998756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98730838--0.98711664) × cos(-1.08829495) × R
    0.000191739999999996 × 0.463996437095768 × 6371000     		do = 566.806698203326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98730838--0.98711664) × cos(-1.08838391) × R
    0.000191739999999996 × 0.463917631194531 × 6371000     		du = 566.710430841968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08829495)-sin(-1.08838391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463996437095768-0.463917631194531)×R²
    abs(-0.98711664--0.98730838)×7.88059012366005e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88059012366005e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88059012366005e-05×40589641000000     		ar = 321218.44195506m²