Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11235 / 23693
↖ ↑ ↗
← S 62.334310°
W 56.568603°		 ← 567.19 m → S 62.334310°
W 56.557617°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
S 62.339411°
W 56.568603°		 ← 567.10 m →
321 654 m²		 S 62.339411°
W 56.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342880249023438 y=0.723068237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342880249023438 × 215)
    floor (0.342880249023438 × 32768)
    floor (11235.5)     		tx = 11235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723068237304688 × 215)
    floor (0.723068237304688 × 32768)
    floor (23693.5)     		ty = 23693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11235 / 23693 ti = "15/11235/23693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11235/23693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11235 ÷ 215
    11235 ÷ 32768     		x = 0.342864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23693 ÷ 215
    23693 ÷ 32768     		y = 0.723052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98730838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.44610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40148319729196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98730838} λ = -0.98730838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40148319729196))-π/2
    2×atan(0.246231483099581)-π/2
    2×0.241428690795172-π/2
    0.482857381590343-1.57079632675     		φ = -1.08793895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98730838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08793895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.334310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11235 KachelY 23693 -0.98730838 -1.08793895 -56.568603 -62.334310
    Oben rechts KachelX + 1 11236 KachelY 23693 -0.98711664 -1.08793895 -56.557617 -62.334310
    Unten links KachelX 11235 KachelY + 1 23694 -0.98730838 -1.08802797 -56.568603 -62.339411
    Unten rechts KachelX + 1 11236 KachelY + 1 23694 -0.98711664 -1.08802797 -56.557617 -62.339411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08793895--1.08802797) × R
    8.90199999998842e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08793895--1.08802797) × R
    8.90199999998842e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98730838--0.98711664) × cos(-1.08793895) × R
    0.000191739999999996 × 0.464311765681848 × 6371000     		do = 567.191895891145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98730838--0.98711664) × cos(-1.08802797) × R
    0.000191739999999996 × 0.464232921336224 × 6371000     		du = 567.095581567063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08793895)-sin(-1.08802797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464311765681848-0.464232921336224)×R²
    abs(-0.98711664--0.98730838)×7.88443456237742e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88443456237742e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88443456237742e-05×40589641000000     		ar = 321653.541257917m²