Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11235 / 19538
↖ ↑ ↗
← S 32.713355°
W 56.568603°		 ← 1 027.82 m → S 32.713355°
W 56.557617°		 →
↑
1 027.83 m
↓
↑
1 027.83 m
↓
S 32.722599°
W 56.568603°		 ← 1 027.71 m →
1 056 368 m²		 S 32.722599°
W 56.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342880249023438 y=0.596267700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342880249023438 × 215)
    floor (0.342880249023438 × 32768)
    floor (11235.5)     		tx = 11235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596267700195312 × 215)
    floor (0.596267700195312 × 32768)
    floor (19538.5)     		ty = 19538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11235 / 19538 ti = "15/11235/19538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11235/19538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11235 ÷ 215
    11235 ÷ 32768     		x = 0.342864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19538 ÷ 215
    19538 ÷ 32768     		y = 0.59625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98730838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604771925606628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98730838} λ = -0.98730838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604771925606628))-π/2
    2×atan(0.546198986437211)-π/2
    2×0.49992028326079-π/2
    0.99984056652158-1.57079632675     		φ = -0.57095576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98730838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57095576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.713355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11235 KachelY 19538 -0.98730838 -0.57095576 -56.568603 -32.713355
    Oben rechts KachelX + 1 11236 KachelY 19538 -0.98711664 -0.57095576 -56.557617 -32.713355
    Unten links KachelX 11235 KachelY + 1 19539 -0.98730838 -0.57111709 -56.568603 -32.722599
    Unten rechts KachelX + 1 11236 KachelY + 1 19539 -0.98711664 -0.57111709 -56.557617 -32.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57095576--0.57111709) × R
    0.00016132999999996 × 6371000     		dl = 1027.83342999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57095576--0.57111709) × R
    0.00016132999999996 × 6371000     		dr = 1027.83342999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98730838--0.98711664) × cos(-0.57095576) × R
    0.000191739999999996 × 0.841384831985259 × 6371000     		do = 1027.81513048018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98730838--0.98711664) × cos(-0.57111709) × R
    0.000191739999999996 × 0.841297632422445 × 6371000     		du = 1027.70860962715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57095576)-sin(-0.57111709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841384831985259-0.841297632422445)×R²
    abs(-0.98711664--0.98730838)×8.71995628135558e-05×R²
    0.000191739999999996×8.71995628135558e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.71995628135558e-05×40589641000000     		ar = 1056368.0104115m²