Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11233 / 19545
↖ ↑ ↗
← S 32.778038°
W 56.590576°		 ← 1 027.12 m → S 32.778038°
W 56.579590°		 →
↑
1 027.01 m
↓
↑
1 027.01 m
↓
S 32.787274°
W 56.590576°		 ← 1 027.02 m →
1 054 806 m²		 S 32.787274°
W 56.579590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342819213867188 y=0.596481323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342819213867188 × 215)
    floor (0.342819213867188 × 32768)
    floor (11233.5)     		tx = 11233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596481323242188 × 215)
    floor (0.596481323242188 × 32768)
    floor (19545.5)     		ty = 19545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11233 / 19545 ti = "15/11233/19545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11233/19545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11233 ÷ 215
    11233 ÷ 32768     		x = 0.342803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19545 ÷ 215
    19545 ÷ 32768     		y = 0.596466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.31439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98769188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.19293212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.60611415879599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98769188} λ = -0.98769188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60611415879599))-π/2
    2×atan(0.545466351822859)-π/2
    2×0.499355820810549-π/2
    0.998711641621097-1.57079632675     		φ = -0.57208469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98769188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57208469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.778038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11233 KachelY 19545 -0.98769188 -0.57208469 -56.590576 -32.778038
    Oben rechts KachelX + 1 11234 KachelY 19545 -0.98750013 -0.57208469 -56.579590 -32.778038
    Unten links KachelX 11233 KachelY + 1 19546 -0.98769188 -0.57224589 -56.590576 -32.787274
    Unten rechts KachelX + 1 11234 KachelY + 1 19546 -0.98750013 -0.57224589 -56.579590 -32.787274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57208469--0.57224589) × R
    0.000161200000000083 × 6371000     		dl = 1027.00520000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57208469--0.57224589) × R
    0.000161200000000083 × 6371000     		dr = 1027.00520000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98769188--0.98750013) × cos(-0.57208469) × R
    0.000191749999999935 × 0.840774181019732 × 6371000     		do = 1027.12273991996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98769188--0.98750013) × cos(-0.57224589) × R
    0.000191749999999935 × 0.840686898676609 × 6371000     		du = 1027.01611238377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57208469)-sin(-0.57224589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840774181019732-0.840686898676609)×R²
    abs(-0.98750013--0.98769188)×8.72823431231629e-05×R²
    0.000191749999999935×8.72823431231629e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.72823431231629e-05×40589641000000     		ar = 1054805.64370391m²