Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11232 / 5792
↖ ↑ ↗
← N 81.387650°
W118.300781°		 ← 91.46 m → N 81.387650°
W118.295288°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 81.386828°
W118.300781°		 ← 91.47 m →
8 368 m²		 N 81.386828°
W118.295288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171394348144531 y=0.0883865356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171394348144531 × 216)
    floor (0.171394348144531 × 65536)
    floor (11232.5)     		tx = 11232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0883865356445312 × 216)
    floor (0.0883865356445312 × 65536)
    floor (5792.5)     		ty = 5792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11232 / 5792 ti = "16/11232/5792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11232/5792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11232 ÷ 216
    11232 ÷ 65536     		x = 0.17138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5792 ÷ 216
    5792 ÷ 65536     		y = 0.08837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17138671875 × 2 - 1) × π
    -0.6572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.06473814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08837890625 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06473814} λ = -2.06473814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58629160830127))-π/2
    2×atan(13.2804311322778)-π/2
    2×1.49563939657716-π/2
    2.99127879315432-1.57079632675     		φ = 1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06473814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11232 KachelY 5792 -2.06473814 1.42048247 -118.300781 81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 11233 KachelY 5792 -2.06464227 1.42048247 -118.295288 81.387650
    Unten links KachelX 11232 KachelY + 1 5793 -2.06473814 1.42046811 -118.300781 81.386828
    Unten rechts KachelX + 1 11233 KachelY + 1 5793 -2.06464227 1.42046811 -118.295288 81.386828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42048247-1.42046811) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42048247-1.42046811) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06473814--2.06464227) × cos(1.42048247) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 91.4645264969622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06473814--2.06464227) × cos(1.42046811) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.149762655692653 × 6371000     		du = 91.4731985002152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42048247)-sin(1.42046811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149762655692653)×R²
    abs(-2.06464227--2.06473814)×1.41980630243566e-05×R²
    9.5870000000442e-05×1.41980630243566e-05×6371000²
    9.5870000000442e-05×1.41980630243566e-05×40589641000000     		ar = 8368.26304608877m²