Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11232 / 19523
↖ ↑ ↗
← S 32.574592°
W 56.601563°		 ← 1 029.46 m → S 32.574592°
W 56.590576°		 →
↑
1 029.36 m
↓
↑
1 029.36 m
↓
S 32.583849°
W 56.601563°		 ← 1 029.36 m →
1 059 638 m²		 S 32.583849°
W 56.590576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342788696289062 y=0.595809936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342788696289062 × 215)
    floor (0.342788696289062 × 32768)
    floor (11232.5)     		tx = 11232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595809936523438 × 215)
    floor (0.595809936523438 × 32768)
    floor (19523.5)     		ty = 19523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11232 / 19523 ti = "15/11232/19523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11232/19523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11232 ÷ 215
    11232 ÷ 32768     		x = 0.3427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19523 ÷ 215
    19523 ÷ 32768     		y = 0.595794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.19158935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.601895711629425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98788363} λ = -0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601895711629425))-π/2
    2×atan(0.547772233008655)-π/2
    2×0.501131224391358-π/2
    1.00226244878272-1.57079632675     		φ = -0.56853388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56853388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.574592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11232 KachelY 19523 -0.98788363 -0.56853388 -56.601563 -32.574592
    Oben rechts KachelX + 1 11233 KachelY 19523 -0.98769188 -0.56853388 -56.590576 -32.574592
    Unten links KachelX 11232 KachelY + 1 19524 -0.98788363 -0.56869545 -56.601563 -32.583849
    Unten rechts KachelX + 1 11233 KachelY + 1 19524 -0.98769188 -0.56869545 -56.590576 -32.583849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56853388--0.56869545) × R
    0.000161569999999944 × 6371000     		dl = 1029.36246999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56853388--0.56869545) × R
    0.000161569999999944 × 6371000     		dr = 1029.36246999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98788363--0.98769188) × cos(-0.56853388) × R
    0.000191750000000046 × 0.842691235381905 × 6371000     		do = 1029.46468877377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98788363--0.98769188) × cos(-0.56869545) × R
    0.000191750000000046 × 0.842604235556986 × 6371000     		du = 1029.35840637291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56853388)-sin(-0.56869545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842691235381905-0.842604235556986)×R²
    abs(-0.98769188--0.98788363)×8.69998249193316e-05×R²
    0.000191750000000046×8.69998249193316e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.69998249193316e-05×40589641000000     		ar = 1059637.61556118m²