Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11230 / 23699
↖ ↑ ↗
← S 62.364901°
W 56.623535°		 ← 566.64 m → S 62.364901°
W 56.612549°		 →
↑
566.57 m
↓
↑
566.57 m
↓
S 62.369996°
W 56.623535°		 ← 566.55 m →
321 018 m²		 S 62.369996°
W 56.612549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342727661132812 y=0.723251342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342727661132812 × 215)
    floor (0.342727661132812 × 32768)
    floor (11230.5)     		tx = 11230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723251342773438 × 215)
    floor (0.723251342773438 × 32768)
    floor (23699.5)     		ty = 23699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11230 / 23699 ti = "15/11230/23699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11230/23699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11230 ÷ 215
    11230 ÷ 32768     		x = 0.34271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23699 ÷ 215
    23699 ÷ 32768     		y = 0.723236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.3145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98826712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.44647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40263368288284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98826712} λ = -0.98826712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40263368288284))-π/2
    2×atan(0.245948360221878)-π/2
    2×0.241161734838215-π/2
    0.48232346967643-1.57079632675     		φ = -1.08847286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98826712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08847286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.364901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11230 KachelY 23699 -0.98826712 -1.08847286 -56.623535 -62.364901
    Oben rechts KachelX + 1 11231 KachelY 23699 -0.98807537 -1.08847286 -56.612549 -62.364901
    Unten links KachelX 11230 KachelY + 1 23700 -0.98826712 -1.08856179 -56.623535 -62.369996
    Unten rechts KachelX + 1 11231 KachelY + 1 23700 -0.98807537 -1.08856179 -56.612549 -62.369996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08847286--1.08856179) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dl = 566.573029999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08847286--1.08856179) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dr = 566.573029999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98826712--0.98807537) × cos(-1.08847286) × R
    0.000191750000000046 × 0.463838830481101 × 6371000     		do = 566.643720989946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98826712--0.98807537) × cos(-1.08856179) × R
    0.000191750000000046 × 0.463760043816948 × 6371000     		du = 566.547472108639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08847286)-sin(-1.08856179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463838830481101-0.463760043816948)×R²
    abs(-0.98807537--0.98826712)×7.87866641532298e-05×R²
    0.000191750000000046×7.87866641532298e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.87866641532298e-05×40589641000000     		ar = 321017.78413359m²