Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1123 / 615
↖ ↑ ↗
← N 82.076089°
W130.649414°		 ← 673.64 m → N 82.076089°
W130.605469°		 →
↑
673.92 m
↓
↑
673.92 m
↓
N 82.070028°
W130.649414°		 ← 674.15 m →
454 156 m²		 N 82.070028°
W130.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13714599609375 y=0.07513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13714599609375 × 213)
    floor (0.13714599609375 × 8192)
    floor (1123.5)     		tx = 1123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07513427734375 × 213)
    floor (0.07513427734375 × 8192)
    floor (615.5)     		ty = 615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1123 / 615 ti = "13/1123/615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1123/615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1123 ÷ 213
    1123 ÷ 8192     		x = 0.1370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 615 ÷ 213
    615 ÷ 8192     		y = 0.0750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28026244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0750732421875 × 2 - 1) × π
    0.849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.66989356123865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28026244} λ = -2.28026244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66989356123865))-π/2
    2×atan(14.4384323021619)-π/2
    2×1.50164715592143-π/2
    3.00329431184286-1.57079632675     		φ = 1.43249799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28026244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.649414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43249799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.076089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1123 KachelY 615 -2.28026244 1.43249799 -130.649414 82.076089
    Oben rechts KachelX + 1 1124 KachelY 615 -2.27949545 1.43249799 -130.605469 82.076089
    Unten links KachelX 1123 KachelY + 1 616 -2.28026244 1.43239221 -130.649414 82.070028
    Unten rechts KachelX + 1 1124 KachelY + 1 616 -2.27949545 1.43239221 -130.605469 82.070028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43249799-1.43239221) × R
    0.000105780000000166 × 6371000     		dl = 673.924380001059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43249799-1.43239221) × R
    0.000105780000000166 × 6371000     		dr = 673.924380001059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28026244--2.27949545) × cos(1.43249799) × R
    0.000766989999999801 × 0.137857899297085 × 6371000     		do = 673.641699888524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28026244--2.27949545) × cos(1.43239221) × R
    0.000766989999999801 × 0.13796266854006 × 6371000     		du = 674.153654091322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43249799)-sin(1.43239221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137857899297085-0.13796266854006)×R²
    abs(-2.27949545--2.28026244)×0.000104769242975478×R²
    0.000766989999999801×0.000104769242975478×6371000²
    0.000766989999999801×0.000104769242975478×40589641000000     		ar = 454156.074573982m²