Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1123 / 3278
↖ ↑ ↗
← S 72.764065°
W 81.298828°		 ← 2 895.81 m → S 72.764065°
W 81.210938°		 →
↑
2 893.64 m
↓
↑
2 893.64 m
↓
S 72.790088°
W 81.298828°		 ← 2 891.57 m →
8 373 298 m²		 S 72.790088°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2742919921875 y=0.8004150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2742919921875 × 212)
    floor (0.2742919921875 × 4096)
    floor (1123.5)     		tx = 1123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8004150390625 × 212)
    floor (0.8004150390625 × 4096)
    floor (3278.5)     		ty = 3278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1123 / 3278 ti = "12/1123/3278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1123/3278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1123 ÷ 212
    1123 ÷ 4096     		x = 0.274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3278 ÷ 212
    3278 ÷ 4096     		y = 0.80029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41893223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80029296875 × 2 - 1) × π
    -0.6005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41893223} λ = -1.41893223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88679636904541))-π/2
    2×atan(0.151556563232022)-π/2
    2×0.150411910128352-π/2
    0.300823820256704-1.57079632675     		φ = -1.26997251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41893223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26997251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.764065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1123 KachelY 3278 -1.41893223 -1.26997251 -81.298828 -72.764065
    Oben rechts KachelX + 1 1124 KachelY 3278 -1.41739825 -1.26997251 -81.210938 -72.764065
    Unten links KachelX 1123 KachelY + 1 3279 -1.41893223 -1.27042670 -81.298828 -72.790088
    Unten rechts KachelX + 1 1124 KachelY + 1 3279 -1.41739825 -1.27042670 -81.210938 -72.790088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26997251--1.27042670) × R
    0.00045418999999991 × 6371000     		dl = 2893.64448999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26997251--1.27042670) × R
    0.00045418999999991 × 6371000     		dr = 2893.64448999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41893223--1.41739825) × cos(-1.26997251) × R
    0.00153398000000005 × 0.296307128535886 × 6371000     		do = 2895.80559073963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41893223--1.41739825) × cos(-1.27042670) × R
    0.00153398000000005 × 0.295873304430251 × 6371000     		du = 2891.56583357718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26997251)-sin(-1.27042670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296307128535886-0.295873304430251)×R²
    abs(-1.41739825--1.41893223)×0.000433824105634806×R²
    0.00153398000000005×0.000433824105634806×6371000²
    0.00153398000000005×0.000433824105634806×40589641000000     		ar = 8373297.86071621m²