Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11228 / 23700
↖ ↑ ↗
← S 62.369996°
W 56.645508°		 ← 566.55 m → S 62.369996°
W 56.634521°		 →
↑
566.51 m
↓
↑
566.51 m
↓
S 62.375091°
W 56.645508°		 ← 566.45 m →
320 927 m²		 S 62.375091°
W 56.634521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342666625976562 y=0.723281860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342666625976562 × 215)
    floor (0.342666625976562 × 32768)
    floor (11228.5)     		tx = 11228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723281860351562 × 215)
    floor (0.723281860351562 × 32768)
    floor (23700.5)     		ty = 23700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11228 / 23700 ti = "15/11228/23700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11228/23700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11228 ÷ 215
    11228 ÷ 32768     		x = 0.3426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23700 ÷ 215
    23700 ÷ 32768     		y = 0.7232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98865062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.446533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40282543048132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98865062} λ = -0.98865062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40282543048132))-π/2
    2×atan(0.245901204735575)-π/2
    2×0.241117268624026-π/2
    0.482234537248052-1.57079632675     		φ = -1.08856179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98865062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08856179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.369996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11228 KachelY 23700 -0.98865062 -1.08856179 -56.645508 -62.369996
    Oben rechts KachelX + 1 11229 KachelY 23700 -0.98845887 -1.08856179 -56.634521 -62.369996
    Unten links KachelX 11228 KachelY + 1 23701 -0.98865062 -1.08865071 -56.645508 -62.375091
    Unten rechts KachelX + 1 11229 KachelY + 1 23701 -0.98845887 -1.08865071 -56.634521 -62.375091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08856179--1.08865071) × R
    8.89200000000478e-05 × 6371000     		dl = 566.509320000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08856179--1.08865071) × R
    8.89200000000478e-05 × 6371000     		dr = 566.509320000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98865062--0.98845887) × cos(-1.08856179) × R
    0.000191750000000046 × 0.463760043816948 × 6371000     		do = 566.547472108639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98865062--0.98845887) × cos(-1.08865071) × R
    0.000191750000000046 × 0.463681262345148 × 6371000     		du = 566.451229570516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08856179)-sin(-1.08865071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463760043816948-0.463681262345148)×R²
    abs(-0.98845887--0.98865062)×7.87814717996271e-05×R²
    0.000191750000000046×7.87814717996271e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.87814717996271e-05×40589641000000     		ar = 320927.162236222m²