Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11223 / 6137
↖ ↑ ↗
← N 81.099166°
W118.350219°		 ← 94.50 m → N 81.099166°
W118.344727°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 81.098315°
W118.350219°		 ← 94.51 m →
8 935 m²		 N 81.098315°
W118.344727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171257019042969 y=0.0936508178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171257019042969 × 216)
    floor (0.171257019042969 × 65536)
    floor (11223.5)     		tx = 11223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936508178710938 × 216)
    floor (0.0936508178710938 × 65536)
    floor (6137.5)     		ty = 6137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11223 / 6137 ti = "16/11223/6137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11223/6137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11223 ÷ 216
    11223 ÷ 65536     		x = 0.171249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6137 ÷ 216
    6137 ÷ 65536     		y = 0.0936431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.171249389648438 × 2 - 1) × π
    -0.657501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06560100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0936431884765625 × 2 - 1) × π
    0.812713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55321514756343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06560100} λ = -2.06560100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55321514756343))-π/2
    2×atan(12.8483467768125)-π/2
    2×1.49312189116687-π/2
    2.98624378233374-1.57079632675     		φ = 1.41544746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06560100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.350219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41544746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.099166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11223 KachelY 6137 -2.06560100 1.41544746 -118.350219 81.099166
    Oben rechts KachelX + 1 11224 KachelY 6137 -2.06550513 1.41544746 -118.344727 81.099166
    Unten links KachelX 11223 KachelY + 1 6138 -2.06560100 1.41543262 -118.350219 81.098315
    Unten rechts KachelX + 1 11224 KachelY + 1 6138 -2.06550513 1.41543262 -118.344727 81.098315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41544746-1.41543262) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41544746-1.41543262) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06560100--2.06550513) × cos(1.41544746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154724774305564 × 6371000     		do = 94.5039998618468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06560100--2.06550513) × cos(1.41543262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154739435579497 × 6371000     		du = 94.5129547886574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41544746)-sin(1.41543262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154724774305564-0.154739435579497)×R²
    abs(-2.06550513--2.06560100)×1.46612739326257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46612739326257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46612739326257e-05×40589641000000     		ar = 8935.3644742316m²