Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11222 / 23747
↖ ↑ ↗
← S 62.608508°
W 56.711426°		 ← 562.01 m → S 62.608508°
W 56.700440°		 →
↑
561.99 m
↓
↑
561.99 m
↓
S 62.613562°
W 56.711426°		 ← 561.91 m →
315 814 m²		 S 62.613562°
W 56.700440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342483520507812 y=0.724716186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342483520507812 × 215)
    floor (0.342483520507812 × 32768)
    floor (11222.5)     		tx = 11222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724716186523438 × 215)
    floor (0.724716186523438 × 32768)
    floor (23747.5)     		ty = 23747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11222 / 23747 ti = "15/11222/23747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11222/23747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11222 ÷ 215
    11222 ÷ 32768     		x = 0.34246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23747 ÷ 215
    23747 ÷ 32768     		y = 0.724700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.3150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98980110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.44940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41183756760989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98980110} λ = -0.98980110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41183756760989))-π/2
    2×atan(0.243695065305564)-π/2
    2×0.23903586057046-π/2
    0.478071721140921-1.57079632675     		φ = -1.09272461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98980110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09272461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.608508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11222 KachelY 23747 -0.98980110 -1.09272461 -56.711426 -62.608508
    Oben rechts KachelX + 1 11223 KachelY 23747 -0.98960936 -1.09272461 -56.700440 -62.608508
    Unten links KachelX 11222 KachelY + 1 23748 -0.98980110 -1.09281282 -56.711426 -62.613562
    Unten rechts KachelX + 1 11223 KachelY + 1 23748 -0.98960936 -1.09281282 -56.700440 -62.613562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09272461--1.09281282) × R
    8.8209999999922e-05 × 6371000     		dl = 561.985909999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09272461--1.09281282) × R
    8.8209999999922e-05 × 6371000     		dr = 561.985909999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98980110--0.98960936) × cos(-1.09272461) × R
    0.000191739999999996 × 0.460067940677844 × 6371000     		do = 562.007743070212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98980110--0.98960936) × cos(-1.09281282) × R
    0.000191739999999996 × 0.459989618665619 × 6371000     		du = 561.912066815836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09272461)-sin(-1.09281282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460067940677844-0.459989618665619)×R²
    abs(-0.98960936--0.98980110)×7.83220122241302e-05×R²
    0.000191739999999996×7.83220122241302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.83220122241302e-05×40589641000000     		ar = 315813.548766889m²