Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11221 / 23745
↖ ↑ ↗
← S 62.598397°
W 56.722412°		 ← 562.23 m → S 62.598397°
W 56.711426°		 →
↑
562.18 m
↓
↑
562.18 m
↓
S 62.603453°
W 56.722412°		 ← 562.13 m →
316 045 m²		 S 62.603453°
W 56.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342453002929688 y=0.724655151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342453002929688 × 215)
    floor (0.342453002929688 × 32768)
    floor (11221.5)     		tx = 11221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724655151367188 × 215)
    floor (0.724655151367188 × 32768)
    floor (23745.5)     		ty = 23745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11221 / 23745 ti = "15/11221/23745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11221/23745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11221 ÷ 215
    11221 ÷ 32768     		x = 0.342437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23745 ÷ 215
    23745 ÷ 32768     		y = 0.724639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.31512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98999285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.44927978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41145407241293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98999285} λ = -0.98999285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41145407241293))-π/2
    2×atan(0.243788539114864)-π/2
    2×0.239124092514103-π/2
    0.478248185028207-1.57079632675     		φ = -1.09254814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98999285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09254814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.598397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11221 KachelY 23745 -0.98999285 -1.09254814 -56.722412 -62.598397
    Oben rechts KachelX + 1 11222 KachelY 23745 -0.98980110 -1.09254814 -56.711426 -62.598397
    Unten links KachelX 11221 KachelY + 1 23746 -0.98999285 -1.09263638 -56.722412 -62.603453
    Unten rechts KachelX + 1 11222 KachelY + 1 23746 -0.98980110 -1.09263638 -56.711426 -62.603453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09254814--1.09263638) × R
    8.82400000001837e-05 × 6371000     		dl = 562.177040001171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09254814--1.09263638) × R
    8.82400000001837e-05 × 6371000     		dr = 562.177040001171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98999285--0.98980110) × cos(-1.09254814) × R
    0.000191750000000046 × 0.460224618352437 × 6371000     		do = 562.228457595743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98999285--0.98980110) × cos(-1.09263638) × R
    0.000191750000000046 × 0.46014627686714 × 6371000     		du = 562.1327525624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09254814)-sin(-1.09263638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460224618352437-0.46014627686714)×R²
    abs(-0.98980110--0.98999285)×7.83414852976172e-05×R²
    0.000191750000000046×7.83414852976172e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.83414852976172e-05×40589641000000     		ar = 316045.028714163m²