Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1122 / 798
↖ ↑ ↗
← N 80.886759°
W130.693359°		 ← 773.95 m → N 80.886759°
W130.649414°		 →
↑
774.27 m
↓
↑
774.27 m
↓
N 80.879796°
W130.693359°		 ← 774.54 m →
599 474 m²		 N 80.879796°
W130.649414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13702392578125 y=0.09747314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13702392578125 × 213)
    floor (0.13702392578125 × 8192)
    floor (1122.5)     		tx = 1122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09747314453125 × 213)
    floor (0.09747314453125 × 8192)
    floor (798.5)     		ty = 798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1122 / 798 ti = "13/1122/798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1122/798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1122 ÷ 213
    1122 ÷ 8192     		x = 0.136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 798 ÷ 213
    798 ÷ 8192     		y = 0.097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.72607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28102943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097412109375 × 2 - 1) × π
    0.80517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52953431915112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28102943} λ = -2.28102943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52953431915112))-π/2
    2×atan(12.5476615702311)-π/2
    2×1.49126829132748-π/2
    2.98253658265495-1.57079632675     		φ = 1.41174026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28102943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41174026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.886759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1122 KachelY 798 -2.28102943 1.41174026 -130.693359 80.886759
    Oben rechts KachelX + 1 1123 KachelY 798 -2.28026244 1.41174026 -130.649414 80.886759
    Unten links KachelX 1122 KachelY + 1 799 -2.28102943 1.41161873 -130.693359 80.879796
    Unten rechts KachelX + 1 1123 KachelY + 1 799 -2.28026244 1.41161873 -130.649414 80.879796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41174026-1.41161873) × R
    0.000121529999999925 × 6371000     		dl = 774.267629999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41174026-1.41161873) × R
    0.000121529999999925 × 6371000     		dr = 774.267629999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28102943--2.28026244) × cos(1.41174026) × R
    0.000766989999999801 × 0.158386259161825 × 6371000     		do = 773.953392622257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28102943--2.28026244) × cos(1.41161873) × R
    0.000766989999999801 × 0.158506253946558 × 6371000     		du = 774.539746332691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41174026)-sin(1.41161873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158386259161825-0.158506253946558)×R²
    abs(-2.28026244--2.28102943)×0.000119994784733263×R²
    0.000766989999999801×0.000119994784733263×6371000²
    0.000766989999999801×0.000119994784733263×40589641000000     		ar = 599474.057120408m²