Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1122 / 3263
↖ ↑ ↗
← S 72.369104°
W 81.386719°		 ← 2 960.08 m → S 72.369104°
W 81.298828°		 →
↑
2 957.93 m
↓
↑
2 957.93 m
↓
S 72.395706°
W 81.386719°		 ← 2 955.76 m →
8 749 306 m²		 S 72.395706°
W 81.298828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2740478515625 y=0.7967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2740478515625 × 212)
    floor (0.2740478515625 × 4096)
    floor (1122.5)     		tx = 1122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7967529296875 × 212)
    floor (0.7967529296875 × 4096)
    floor (3263.5)     		ty = 3263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1122 / 3263 ti = "12/1122/3263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1122/3263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1122 ÷ 212
    1122 ÷ 4096     		x = 0.27392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3263 ÷ 212
    3263 ÷ 4096     		y = 0.796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27392578125 × 2 - 1) × π
    -0.4521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42046621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.59326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86378665722778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42046621} λ = -1.42046621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86378665722778))-π/2
    2×atan(0.155084266146896)-π/2
    2×0.153858588219819-π/2
    0.307717176439637-1.57079632675     		φ = -1.26307915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42046621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26307915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.369104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1122 KachelY 3263 -1.42046621 -1.26307915 -81.386719 -72.369104
    Oben rechts KachelX + 1 1123 KachelY 3263 -1.41893223 -1.26307915 -81.298828 -72.369104
    Unten links KachelX 1122 KachelY + 1 3264 -1.42046621 -1.26354343 -81.386719 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 1123 KachelY + 1 3264 -1.41893223 -1.26354343 -81.298828 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26307915--1.26354343) × R
    0.000464279999999873 × 6371000     		dl = 2957.92787999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26307915--1.26354343) × R
    0.000464279999999873 × 6371000     		dr = 2957.92787999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42046621--1.41893223) × cos(-1.26307915) × R
    0.00153398000000005 × 0.302883834286425 × 6371000     		do = 2960.07964778027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42046621--1.41893223) × cos(-1.26354343) × R
    0.00153398000000005 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 2955.75505989835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26307915)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302883834286425-0.302441330058417)×R²
    abs(-1.41893223--1.42046621)×0.000442504228008234×R²
    0.00153398000000005×0.000442504228008234×6371000²
    0.00153398000000005×0.000442504228008234×40589641000000     		ar = 8749306.36481324m²