Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11218 / 23734
↖ ↑ ↗
← S 62.542728°
W 56.755371°		 ← 563.25 m → S 62.542728°
W 56.744385°		 →
↑
563.20 m
↓
↑
563.20 m
↓
S 62.547793°
W 56.755371°		 ← 563.16 m →
317 195 m²		 S 62.547793°
W 56.744385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342361450195312 y=0.724319458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342361450195312 × 215)
    floor (0.342361450195312 × 32768)
    floor (11218.5)     		tx = 11218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724319458007812 × 215)
    floor (0.724319458007812 × 32768)
    floor (23734.5)     		ty = 23734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11218 / 23734 ti = "15/11218/23734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11218/23734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11218 ÷ 215
    11218 ÷ 32768     		x = 0.34234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23734 ÷ 215
    23734 ÷ 32768     		y = 0.72430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99056809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.4486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40934484882965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99056809} λ = -0.99056809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40934484882965))-π/2
    2×atan(0.244303286318535)-π/2
    2×0.239609905463824-π/2
    0.479219810927648-1.57079632675     		φ = -1.09157652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99056809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.755371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09157652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.542728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11218 KachelY 23734 -0.99056809 -1.09157652 -56.755371 -62.542728
    Oben rechts KachelX + 1 11219 KachelY 23734 -0.99037635 -1.09157652 -56.744385 -62.542728
    Unten links KachelX 11218 KachelY + 1 23735 -0.99056809 -1.09166492 -56.755371 -62.547793
    Unten rechts KachelX + 1 11219 KachelY + 1 23735 -0.99037635 -1.09166492 -56.744385 -62.547793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09157652--1.09166492) × R
    8.83999999998775e-05 × 6371000     		dl = 563.196399999219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09157652--1.09166492) × R
    8.83999999998775e-05 × 6371000     		dr = 563.196399999219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99056809--0.99037635) × cos(-1.09157652) × R
    0.000191739999999996 × 0.461087007657159 × 6371000     		do = 563.252610365765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99056809--0.99037635) × cos(-1.09166492) × R
    0.000191739999999996 × 0.461008563679874 × 6371000     		du = 563.156785121854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09157652)-sin(-1.09166492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461087007657159-0.461008563679874)×R²
    abs(-0.99037635--0.99056809)×7.84439772845702e-05×R²
    0.000191739999999996×7.84439772845702e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.84439772845702e-05×40589641000000     		ar = 317194.858438691m²