Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11216 / 23792
↖ ↑ ↗
← S 62.835089°
W 56.777344°		 ← 557.74 m → S 62.835089°
W 56.766357°		 →
↑
557.65 m
↓
↑
557.65 m
↓
S 62.840104°
W 56.777344°		 ← 557.65 m →
311 001 m²		 S 62.840104°
W 56.766357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342300415039062 y=0.726089477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342300415039062 × 215)
    floor (0.342300415039062 × 32768)
    floor (11216.5)     		tx = 11216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726089477539062 × 215)
    floor (0.726089477539062 × 32768)
    floor (23792.5)     		ty = 23792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11216 / 23792 ti = "15/11216/23792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11216/23792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11216 ÷ 215
    11216 ÷ 32768     		x = 0.34228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23792 ÷ 215
    23792 ÷ 32768     		y = 0.72607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    -0.3154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99095159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4204662095415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99095159} λ = -0.99095159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4204662095415))-π/2
    2×atan(0.241601353780394)-π/2
    2×0.237058568890198-π/2
    0.474117137780395-1.57079632675     		φ = -1.09667919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99095159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09667919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.835089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11216 KachelY 23792 -0.99095159 -1.09667919 -56.777344 -62.835089
    Oben rechts KachelX + 1 11217 KachelY 23792 -0.99075984 -1.09667919 -56.766357 -62.835089
    Unten links KachelX 11216 KachelY + 1 23793 -0.99095159 -1.09676672 -56.777344 -62.840104
    Unten rechts KachelX + 1 11217 KachelY + 1 23793 -0.99075984 -1.09676672 -56.766357 -62.840104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09667919--1.09676672) × R
    8.75300000000578e-05 × 6371000     		dl = 557.653630000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09667919--1.09676672) × R
    8.75300000000578e-05 × 6371000     		dr = 557.653630000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99095159--0.99075984) × cos(-1.09667919) × R
    0.000191750000000046 × 0.456553145222833 × 6371000     		do = 557.743241915297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99095159--0.99075984) × cos(-1.09676672) × R
    0.000191750000000046 × 0.456475268370657 × 6371000     		du = 557.648104496013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09667919)-sin(-1.09676672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456553145222833-0.456475268370657)×R²
    abs(-0.99075984--0.99095159)×7.78768521755291e-05×R²
    0.000191750000000046×7.78768521755291e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.78768521755291e-05×40589641000000     		ar = 311001.016797125m²