Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 112131 / 56831
↖ ↑ ↗
← N 23.243870°
E127.976990°		 ← 280.58 m → N 23.243870°
E127.979736°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.241346°
E127.976990°		 ← 280.58 m →
78 743 m²		 N 23.241346°
E127.979736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 112131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.855495452880859 y=0.433589935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.855495452880859 × 217)
    floor (0.855495452880859 × 131072)
    floor (112131.5)     		tx = 112131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433589935302734 × 217)
    floor (0.433589935302734 × 131072)
    floor (56831.5)     		ty = 56831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 112131 / 56831 ti = "17/112131/56831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/112131/56831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 112131 ÷ 217
    112131 ÷ 131072     		x = 0.855491638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56831 ÷ 217
    56831 ÷ 131072     		y = 0.433586120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.855491638183594 × 2 - 1) × π
    0.710983276367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.23361984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433586120605469 × 2 - 1) × π
    0.132827758789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.417290711192589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.23361984} λ = 2.23361984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417290711192589))-π/2
    2×atan(1.51784370295559)-π/2
    2×0.988239192654554-π/2
    1.97647838530911-1.57079632675     		φ = 0.40568206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.23361984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 127.976990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40568206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.243870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 112131 KachelY 56831 2.23361984 0.40568206 127.976990 23.243870
    Oben rechts KachelX + 1 112132 KachelY 56831 2.23366777 0.40568206 127.979736 23.243870
    Unten links KachelX 112131 KachelY + 1 56832 2.23361984 0.40563801 127.976990 23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 112132 KachelY + 1 56832 2.23366777 0.40563801 127.979736 23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40568206-0.40563801) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40568206-0.40563801) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.23361984-2.23366777) × cos(0.40568206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918833438965018 × 6371000     		do = 280.576844154411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.23361984-2.23366777) × cos(0.40563801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 280.58215233742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40568206)-sin(0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918833438965018-0.91885082221011)×R²
    abs(2.23366777-2.23361984)×1.73832450913736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73832450913736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73832450913736e-05×40589641000000     		ar = 78742.5458781497m²