Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11209 / 23910
↖ ↑ ↗
← S 63.421031°
W 56.854248°		 ← 546.60 m → S 63.421031°
W 56.843261°		 →
↑
546.57 m
↓
↑
546.57 m
↓
S 63.425946°
W 56.854248°		 ← 546.51 m →
298 728 m²		 S 63.425946°
W 56.843261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342086791992188 y=0.729690551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342086791992188 × 215)
    floor (0.342086791992188 × 32768)
    floor (11209.5)     		tx = 11209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729690551757812 × 215)
    floor (0.729690551757812 × 32768)
    floor (23910.5)     		ty = 23910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11209 / 23910 ti = "15/11209/23910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11209/23910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11209 ÷ 215
    11209 ÷ 32768     		x = 0.342071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23910 ÷ 215
    23910 ÷ 32768     		y = 0.72967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.31585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.99229382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.4593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44309242616217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99229382} λ = -0.99229382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44309242616217))-π/2
    2×atan(0.23619620879762)-π/2
    2×0.231945263445839-π/2
    0.463890526891679-1.57079632675     		φ = -1.10690580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99229382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.854248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10690580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.421031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11209 KachelY 23910 -0.99229382 -1.10690580 -56.854248 -63.421031
    Oben rechts KachelX + 1 11210 KachelY 23910 -0.99210207 -1.10690580 -56.843261 -63.421031
    Unten links KachelX 11209 KachelY + 1 23911 -0.99229382 -1.10699159 -56.854248 -63.425946
    Unten rechts KachelX + 1 11210 KachelY + 1 23911 -0.99210207 -1.10699159 -56.843261 -63.425946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10690580--1.10699159) × R
    8.57899999999745e-05 × 6371000     		dl = 546.568089999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10690580--1.10699159) × R
    8.57899999999745e-05 × 6371000     		dr = 546.568089999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99229382--0.99210207) × cos(-1.10690580) × R
    0.000191750000000046 × 0.447430854583208 × 6371000     		do = 546.59909362002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99229382--0.99210207) × cos(-1.10699159) × R
    0.000191750000000046 × 0.447354129350216 × 6371000     		du = 546.505363063932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10690580)-sin(-1.10699159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447430854583208-0.447354129350216)×R²
    abs(-0.99210207--0.99229382)×7.67252329919588e-05×R²
    0.000191750000000046×7.67252329919588e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.67252329919588e-05×40589641000000     		ar = 298728.007712777m²