Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11207 / 23912
↖ ↑ ↗
← S 63.430860°
W 56.876221°		 ← 546.41 m → S 63.430860°
W 56.865234°		 →
↑
546.38 m
↓
↑
546.38 m
↓
S 63.435774°
W 56.876221°		 ← 546.32 m →
298 521 m²		 S 63.435774°
W 56.865234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342025756835938 y=0.729751586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342025756835938 × 215)
    floor (0.342025756835938 × 32768)
    floor (11207.5)     		tx = 11207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729751586914062 × 215)
    floor (0.729751586914062 × 32768)
    floor (23912.5)     		ty = 23912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11207 / 23912 ti = "15/11207/23912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11207/23912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11207 ÷ 215
    11207 ÷ 32768     		x = 0.342010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23912 ÷ 215
    23912 ÷ 32768     		y = 0.729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.31597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99267732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.45947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44347592135913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99267732} λ = -0.99267732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44347592135913))-π/2
    2×atan(0.236105646052305)-π/2
    2×0.231859484364923-π/2
    0.463718968729847-1.57079632675     		φ = -1.10707736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99267732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.876221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10707736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.430860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11207 KachelY 23912 -0.99267732 -1.10707736 -56.876221 -63.430860
    Oben rechts KachelX + 1 11208 KachelY 23912 -0.99248557 -1.10707736 -56.865234 -63.430860
    Unten links KachelX 11207 KachelY + 1 23913 -0.99267732 -1.10716312 -56.876221 -63.435774
    Unten rechts KachelX + 1 11208 KachelY + 1 23913 -0.99248557 -1.10716312 -56.865234 -63.435774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10707736--1.10716312) × R
    8.57600000001568e-05 × 6371000     		dl = 546.376960000999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10707736--1.10716312) × R
    8.57600000001568e-05 × 6371000     		dr = 546.376960000999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99267732--0.99248557) × cos(-1.10707736) × R
    0.000191749999999935 × 0.447277418712637 × 6371000     		do = 546.411650337857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99267732--0.99248557) × cos(-1.10716312) × R
    0.000191749999999935 × 0.447200713729001 × 6371000     		du = 546.317944519177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10707736)-sin(-1.10716312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447277418712637-0.447200713729001)×R²
    abs(-0.99248557--0.99267732)×7.67049836357669e-05×R²
    0.000191749999999935×7.67049836357669e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.67049836357669e-05×40589641000000     		ar = 298521.137254061m²