Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1120 / 990
↖ ↑ ↗
← N  5.965753°
E 16.875000°		 ← 19.440 km → N  5.965753°
E 17.050781°		 →
↑
19.443 km
↓
↑
19.443 km
↓
N  5.790897°
E 16.875000°		 ← 19.446 km →
378.037 km²		 N  5.790897°
E 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547119140625 y=0.483642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547119140625 × 211)
    floor (0.547119140625 × 2048)
    floor (1120.5)     		tx = 1120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.483642578125 × 211)
    floor (0.483642578125 × 2048)
    floor (990.5)     		ty = 990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1120 / 990 ti = "11/1120/990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1120/990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1120 ÷ 211
    1120 ÷ 2048     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 990 ÷ 211
    990 ÷ 2048     		y = 0.4833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.104310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.104310693573242))-π/2
    2×atan(1.10994525420648)-π/2
    2×0.837459185357482-π/2
    1.67491837071496-1.57079632675     		φ = 0.10412204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10412204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.965753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1120 KachelY 990 0.29452431 0.10412204 16.875000 5.965753
    Oben rechts KachelX + 1 1121 KachelY 990 0.29759227 0.10412204 17.050781 5.965753
    Unten links KachelX 1120 KachelY + 1 991 0.29452431 0.10107022 16.875000 5.790897
    Unten rechts KachelX + 1 1121 KachelY + 1 991 0.29759227 0.10107022 17.050781 5.790897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10412204-0.10107022) × R
    0.00305182 × 6371000     		dl = 19443.14522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10412204-0.10107022) × R
    0.00305182 × 6371000     		dr = 19443.14522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29759227) × cos(0.10412204) × R
    0.00306795999999998 × 0.994584195954369 × 6371000     		do = 19440.1159994842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29759227) × cos(0.10107022) × R
    0.00306795999999998 × 0.99489675175493 × 6371000     		du = 19446.2252067729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10412204)-sin(0.10107022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994584195954369-0.99489675175493)×R²
    abs(0.29759227-0.29452431)×0.000312555800560665×R²
    0.00306795999999998×0.000312555800560665×6371000²
    0.00306795999999998×0.000312555800560665×40589641000000     		ar = 378036682.980945m²