Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1120 / 3259
↖ ↑ ↗
← S 72.262310°
W 81.562500°		 ← 2 977.43 m → S 72.262310°
W 81.474609°		 →
↑
2 975.32 m
↓
↑
2 975.32 m
↓
S 72.289067°
W 81.562500°		 ← 2 973.09 m →
8 852 356 m²		 S 72.289067°
W 81.474609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2735595703125 y=0.7957763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2735595703125 × 212)
    floor (0.2735595703125 × 4096)
    floor (1120.5)     		tx = 1120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7957763671875 × 212)
    floor (0.7957763671875 × 4096)
    floor (3259.5)     		ty = 3259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1120 / 3259 ti = "12/1120/3259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1120/3259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1120 ÷ 212
    1120 ÷ 4096     		x = 0.2734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3259 ÷ 212
    3259 ÷ 4096     		y = 0.795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2734375 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42353417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.59130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85765073407642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42353417} λ = -1.42353417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85765073407642))-π/2
    2×atan(0.156038776692899)-π/2
    2×0.154790545897296-π/2
    0.309581091794591-1.57079632675     		φ = -1.26121523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42353417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26121523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.262310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1120 KachelY 3259 -1.42353417 -1.26121523 -81.562500 -72.262310
    Oben rechts KachelX + 1 1121 KachelY 3259 -1.42200019 -1.26121523 -81.474609 -72.262310
    Unten links KachelX 1120 KachelY + 1 3260 -1.42353417 -1.26168224 -81.562500 -72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 1121 KachelY + 1 3260 -1.42200019 -1.26168224 -81.474609 -72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26121523--1.26168224) × R
    0.000467010000000156 × 6371000     		dl = 2975.320710001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26121523--1.26168224) × R
    0.000467010000000156 × 6371000     		dr = 2975.320710001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42353417--1.42200019) × cos(-1.26121523) × R
    0.00153397999999982 × 0.30465967410453 × 6371000     		do = 2977.4349064904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42353417--1.42200019) × cos(-1.26168224) × R
    0.00153397999999982 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 2973.08747015374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26121523)-sin(-1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30465967410453-0.304214831957139)×R²
    abs(-1.42200019--1.42353417)×0.000444842147390601×R²
    0.00153397999999982×0.000444842147390601×6371000²
    0.00153397999999982×0.000444842147390601×40589641000000     		ar = 8852356.39216556m²