Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1120 / 1492
↖ ↑ ↗
← S 63.233628°
E 16.875000°		 ← 8 802.60 m → S 63.233628°
E 17.050781°		 →
↑
8 790.51 m
↓
↑
8 790.51 m
↓
S 63.312683°
E 16.875000°		 ← 8 778.51 m →
77 273 519 m²		 S 63.312683°
E 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547119140625 y=0.728759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547119140625 × 211)
    floor (0.547119140625 × 2048)
    floor (1120.5)     		tx = 1120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728759765625 × 211)
    floor (0.728759765625 × 2048)
    floor (1492.5)     		ty = 1492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1120 / 1492 ti = "11/1120/1492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1120/1492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1120 ÷ 211
    1120 ÷ 2048     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1492 ÷ 211
    1492 ÷ 2048     		y = 0.728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728515625 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43580601741992))-π/2
    2×atan(0.237923516210063)-π/2
    2×0.233580665244477-π/2
    0.467161330488953-1.57079632675     		φ = -1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1120 KachelY 1492 0.29452431 -1.10363500 16.875000 -63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 1121 KachelY 1492 0.29759227 -1.10363500 17.050781 -63.233628
    Unten links KachelX 1120 KachelY + 1 1493 0.29452431 -1.10501477 16.875000 -63.312683
    Unten rechts KachelX + 1 1121 KachelY + 1 1493 0.29759227 -1.10501477 17.050781 -63.312683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10363500--1.10501477) × R
    0.00137977 × 6371000     		dl = 8790.51467000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10363500--1.10501477) × R
    0.00137977 × 6371000     		dr = 8790.51467000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29759227) × cos(-1.10363500) × R
    0.00306795999999998 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 8802.59924276067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29759227) × cos(-1.10501477) × R
    0.00306795999999998 × 0.449121236737269 × 6371000     		du = 8778.51163885261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10363500)-sin(-1.10501477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.449121236737269)×R²
    abs(0.29759227-0.29452431)×0.00123235633810026×R²
    0.00306795999999998×0.00123235633810026×6371000²
    0.00306795999999998×0.00123235633810026×40589641000000     		ar = 77273518.8190828m²