Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11191 / 6036
↖ ↑ ↗
← N 81.184599°
W118.526001°		 ← 93.61 m → N 81.184599°
W118.520508°		 →
↑
93.59 m
↓
↑
93.59 m
↓
N 81.183757°
W118.526001°		 ← 93.62 m →
8 762 m²		 N 81.183757°
W118.520508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170768737792969 y=0.0921096801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170768737792969 × 216)
    floor (0.170768737792969 × 65536)
    floor (11191.5)     		tx = 11191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0921096801757812 × 216)
    floor (0.0921096801757812 × 65536)
    floor (6036.5)     		ty = 6036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11191 / 6036 ti = "16/11191/6036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11191/6036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11191 ÷ 216
    11191 ÷ 65536     		x = 0.170761108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6036 ÷ 216
    6036 ÷ 65536     		y = 0.09210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170761108398438 × 2 - 1) × π
    -0.658477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06866897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09210205078125 × 2 - 1) × π
    0.8157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56289840128668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06866897} λ = -2.06866897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56289840128668))-π/2
    2×atan(12.9733648927822)-π/2
    2×1.49386743865353-π/2
    2.98773487730707-1.57079632675     		φ = 1.41693855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06866897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.526001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41693855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.184599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11191 KachelY 6036 -2.06866897 1.41693855 -118.526001 81.184599
    Oben rechts KachelX + 1 11192 KachelY 6036 -2.06857309 1.41693855 -118.520508 81.184599
    Unten links KachelX 11191 KachelY + 1 6037 -2.06866897 1.41692386 -118.526001 81.183757
    Unten rechts KachelX + 1 11192 KachelY + 1 6037 -2.06857309 1.41692386 -118.520508 81.183757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41693855-1.41692386) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dl = 93.5899899998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41693855-1.41692386) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dr = 93.5899899998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06866897--2.06857309) × cos(1.41693855) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153251469131349 × 6371000     		do = 93.6138867309974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06866897--2.06857309) × cos(1.41692386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153265985585115 × 6371000     		du = 93.6227541282648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41693855)-sin(1.41692386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153251469131349-0.153265985585115)×R²
    abs(-2.06857309--2.06866897)×1.45164537661557e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45164537661557e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45164537661557e-05×40589641000000     		ar = 8761.73767271675m²