Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11185 / 6037
↖ ↑ ↗
← N 81.183757°
W118.558960°		 ← 93.61 m → N 81.183757°
W118.553467°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
N 81.182915°
W118.558960°		 ← 93.62 m →
8 768 m²		 N 81.182915°
W118.553467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170677185058594 y=0.0921249389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170677185058594 × 216)
    floor (0.170677185058594 × 65536)
    floor (11185.5)     		tx = 11185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0921249389648438 × 216)
    floor (0.0921249389648438 × 65536)
    floor (6037.5)     		ty = 6037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11185 / 6037 ti = "16/11185/6037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11185/6037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11185 ÷ 216
    11185 ÷ 65536     		x = 0.170669555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6037 ÷ 216
    6037 ÷ 65536     		y = 0.0921173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170669555664062 × 2 - 1) × π
    -0.658660888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.06924421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0921173095703125 × 2 - 1) × π
    0.815765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56280252748744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06924421} λ = -2.06924421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56280252748744))-π/2
    2×atan(12.9721211466233)-π/2
    2×1.49386009190525-π/2
    2.9877201838105-1.57079632675     		φ = 1.41692386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06924421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.558960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41692386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.183757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11185 KachelY 6037 -2.06924421 1.41692386 -118.558960 81.183757
    Oben rechts KachelX + 1 11186 KachelY 6037 -2.06914834 1.41692386 -118.553467 81.183757
    Unten links KachelX 11185 KachelY + 1 6038 -2.06924421 1.41690916 -118.558960 81.182915
    Unten rechts KachelX + 1 11186 KachelY + 1 6038 -2.06914834 1.41690916 -118.553467 81.182915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41692386-1.41690916) × R
    1.47000000001452e-05 × 6371000     		dl = 93.6537000009248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41692386-1.41690916) × R
    1.47000000001452e-05 × 6371000     		dr = 93.6537000009248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06924421--2.06914834) × cos(1.41692386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153265985585115 × 6371000     		do = 93.6129895523825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06924421--2.06914834) × cos(1.41690916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153280511887634 × 6371000     		du = 93.6218620403046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41692386)-sin(1.41690916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153265985585115-0.153280511887634)×R²
    abs(-2.06914834--2.06924421)×1.45263025192743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45263025192743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45263025192743e-05×40589641000000     		ar = 8767.61831059979m²