Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11184 / 23920
↖ ↑ ↗
← S 63.470145°
W 57.128906°		 ← 545.66 m → S 63.470145°
W 57.117920°		 →
↑
545.61 m
↓
↑
545.61 m
↓
S 63.475051°
W 57.128906°		 ← 545.57 m →
297 695 m²		 S 63.475051°
W 57.117920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341323852539062 y=0.729995727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341323852539062 × 215)
    floor (0.341323852539062 × 32768)
    floor (11184.5)     		tx = 11184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729995727539062 × 215)
    floor (0.729995727539062 × 32768)
    floor (23920.5)     		ty = 23920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11184 / 23920 ti = "15/11184/23920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11184/23920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11184 ÷ 215
    11184 ÷ 32768     		x = 0.34130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23920 ÷ 215
    23920 ÷ 32768     		y = 0.72998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34130859375 × 2 - 1) × π
    -0.3173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99708751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99708751} λ = -0.99708751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44500990214697))-π/2
    2×atan(0.235743742175123)-π/2
    2×0.231516662134198-π/2
    0.463033324268396-1.57079632675     		φ = -1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99708751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11184 KachelY 23920 -0.99708751 -1.10776300 -57.128906 -63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 11185 KachelY 23920 -0.99689576 -1.10776300 -57.117920 -63.470145
    Unten links KachelX 11184 KachelY + 1 23921 -0.99708751 -1.10784864 -57.128906 -63.475051
    Unten rechts KachelX + 1 11185 KachelY + 1 23921 -0.99689576 -1.10784864 -57.117920 -63.475051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10776300--1.10784864) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dl = 545.612439999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10776300--1.10784864) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dr = 545.612439999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99708751--0.99689576) × cos(-1.10776300) × R
    0.000191749999999935 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 545.662372242967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99708751--0.99689576) × cos(-1.10784864) × R
    0.000191749999999935 × 0.446587456555548 × 6371000     		du = 545.568765485742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10776300)-sin(-1.10784864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.446587456555548)×R²
    abs(-0.99689576--0.99708751)×7.66238946770526e-05×R²
    0.000191749999999935×7.66238946770526e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.66238946770526e-05×40589641000000     		ar = 297694.642011775m²