Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11183 / 23921
↖ ↑ ↗
← S 63.475051°
W 57.139893°		 ← 545.57 m → S 63.475051°
W 57.128906°		 →
↑
545.55 m
↓
↑
545.55 m
↓
S 63.479958°
W 57.139893°		 ← 545.48 m →
297 609 m²		 S 63.479958°
W 57.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341293334960938 y=0.730026245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341293334960938 × 215)
    floor (0.341293334960938 × 32768)
    floor (11183.5)     		tx = 11183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730026245117188 × 215)
    floor (0.730026245117188 × 32768)
    floor (23921.5)     		ty = 23921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11183 / 23921 ti = "15/11183/23921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11183/23921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11183 ÷ 215
    11183 ÷ 32768     		x = 0.341278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23921 ÷ 215
    23921 ÷ 32768     		y = 0.730010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.31744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99727926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730010986328125 × 2 - 1) × π
    -0.46002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44520164974545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99727926} λ = -0.99727926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44520164974545))-π/2
    2×atan(0.235698543212239)-π/2
    2×0.231473842425204-π/2
    0.462947684850407-1.57079632675     		φ = -1.10784864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99727926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.139893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10784864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.475051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11183 KachelY 23921 -0.99727926 -1.10784864 -57.139893 -63.475051
    Oben rechts KachelX + 1 11184 KachelY 23921 -0.99708751 -1.10784864 -57.128906 -63.475051
    Unten links KachelX 11183 KachelY + 1 23922 -0.99727926 -1.10793427 -57.139893 -63.479958
    Unten rechts KachelX + 1 11184 KachelY + 1 23922 -0.99708751 -1.10793427 -57.128906 -63.479958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10784864--1.10793427) × R
    8.56300000000587e-05 × 6371000     		dl = 545.548730000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10784864--1.10793427) × R
    8.56300000000587e-05 × 6371000     		dr = 545.548730000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99727926--0.99708751) × cos(-1.10784864) × R
    0.000191750000000046 × 0.446587456555548 × 6371000     		do = 545.568765486058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99727926--0.99708751) × cos(-1.10793427) × R
    0.000191750000000046 × 0.446510838333287 × 6371000     		du = 545.475165658479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10784864)-sin(-1.10793427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446587456555548-0.446510838333287)×R²
    abs(-0.99708751--0.99727926)×7.66182222607936e-05×R²
    0.000191750000000046×7.66182222607936e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.66182222607936e-05×40589641000000     		ar = 297608.815687429m²