Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1118 / 988
↖ ↑ ↗
← N  6.315298°
E 16.523438°		 ← 19.427 km → N  6.315298°
E 16.699219°		 →
↑
19.431 km
↓
↑
19.431 km
↓
N  6.140555°
E 16.523438°		 ← 19.434 km →
377.548 km²		 N  6.140555°
E 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546142578125 y=0.482666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546142578125 × 211)
    floor (0.546142578125 × 2048)
    floor (1118.5)     		tx = 1118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482666015625 × 211)
    floor (0.482666015625 × 2048)
    floor (988.5)     		ty = 988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1118 / 988 ti = "11/1118/988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1118/988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1118 ÷ 211
    1118 ÷ 2048     		x = 0.5458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 988 ÷ 211
    988 ÷ 2048     		y = 0.482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5458984375 × 2 - 1) × π
    0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482421875 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28838839} λ = 0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110446616724609))-π/2
    2×atan(1.11677673026107)-π/2
    2×0.840509539766002-π/2
    1.681019079532-1.57079632675     		φ = 0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1118 KachelY 988 0.28838839 0.11022275 16.523438 6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 1119 KachelY 988 0.29145635 0.11022275 16.699219 6.315298
    Unten links KachelX 1118 KachelY + 1 989 0.28838839 0.10717290 16.523438 6.140555
    Unten rechts KachelX + 1 1119 KachelY + 1 989 0.29145635 0.10717290 16.699219 6.140555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11022275-0.10717290) × R
    0.00304984999999999 × 6371000     		dl = 19430.59435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11022275-0.10717290) × R
    0.00304984999999999 × 6371000     		dr = 19430.59435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28838839-0.29145635) × cos(0.11022275) × R
    0.00306795999999998 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 19427.3607709437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28838839-0.29145635) × cos(0.10717290) × R
    0.00306795999999998 × 0.994262479685944 × 6371000     		du = 19433.8277419364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11022275)-sin(0.10717290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.994262479685944)×R²
    abs(0.29145635-0.28838839)×0.000330859504395375×R²
    0.00306795999999998×0.000330859504395375×6371000²
    0.00306795999999998×0.000330859504395375×40589641000000     		ar = 377548287.626163m²