Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11172 / 6052
↖ ↑ ↗
← N 81.171119°
W118.630371°		 ← 93.76 m → N 81.171119°
W118.624878°		 →
↑
93.78 m
↓
↑
93.78 m
↓
N 81.170276°
W118.630371°		 ← 93.76 m →
8 793 m²		 N 81.170276°
W118.624878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170478820800781 y=0.0923538208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170478820800781 × 216)
    floor (0.170478820800781 × 65536)
    floor (11172.5)     		tx = 11172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923538208007812 × 216)
    floor (0.0923538208007812 × 65536)
    floor (6052.5)     		ty = 6052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11172 / 6052 ti = "16/11172/6052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11172/6052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11172 ÷ 216
    11172 ÷ 65536     		x = 0.17047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6052 ÷ 216
    6052 ÷ 65536     		y = 0.09234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17047119140625 × 2 - 1) × π
    -0.6590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07049057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09234619140625 × 2 - 1) × π
    0.8153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56136442049884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07049057} λ = -2.07049057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56136442049884))-π/2
    2×atan(12.9534792562746)-π/2
    2×1.49374980711637-π/2
    2.98749961423274-1.57079632675     		φ = 1.41670329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07049057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41670329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.171119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11172 KachelY 6052 -2.07049057 1.41670329 -118.630371 81.171119
    Oben rechts KachelX + 1 11173 KachelY 6052 -2.07039469 1.41670329 -118.624878 81.171119
    Unten links KachelX 11172 KachelY + 1 6053 -2.07049057 1.41668857 -118.630371 81.170276
    Unten rechts KachelX + 1 11173 KachelY + 1 6053 -2.07039469 1.41668857 -118.624878 81.170276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41670329-1.41668857) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dl = 93.7811200001504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41670329-1.41668857) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dr = 93.7811200001504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07049057--2.07039469) × cos(1.41670329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153483945814204 × 6371000     		do = 93.7558954567847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07049057--2.07039469) × cos(1.41668857) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153498491382377 × 6371000     		du = 93.7647806386309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41670329)-sin(1.41668857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153483945814204-0.153498491382377)×R²
    abs(-2.07039469--2.07049057)×1.45455681735407e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45455681735407e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45455681735407e-05×40589641000000     		ar = 8792.94951352754m²