Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1117 / 987
↖ ↑ ↗
← N  6.489983°
E 16.347656°		 ← 19.421 km → N  6.489983°
E 16.523438°		 →
↑
19.424 km
↓
↑
19.424 km
↓
N  6.315298°
E 16.347656°		 ← 19.427 km →
377.295 km²		 N  6.315298°
E 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545654296875 y=0.482177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545654296875 × 211)
    floor (0.545654296875 × 2048)
    floor (1117.5)     		tx = 1117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482177734375 × 211)
    floor (0.482177734375 × 2048)
    floor (987.5)     		ty = 987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1117 / 987 ti = "11/1117/987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1117/987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1117 ÷ 211
    1117 ÷ 2048     		x = 0.54541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 987 ÷ 211
    987 ÷ 2048     		y = 0.48193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54541015625 × 2 - 1) × π
    0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48193359375 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.113514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28532043} λ = 0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.113514578300293))-π/2
    2×atan(1.12020821950516)-π/2
    2×0.842033952173165-π/2
    1.68406790434633-1.57079632675     		φ = 0.11327158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11327158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.489983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1117 KachelY 987 0.28532043 0.11327158 16.347656 6.489983
    Oben rechts KachelX + 1 1118 KachelY 987 0.28838839 0.11327158 16.523438 6.489983
    Unten links KachelX 1117 KachelY + 1 988 0.28532043 0.11022275 16.347656 6.315298
    Unten rechts KachelX + 1 1118 KachelY + 1 988 0.28838839 0.11022275 16.523438 6.315298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11327158-0.11022275) × R
    0.00304883 × 6371000     		dl = 19424.09593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11327158-0.11022275) × R
    0.00304883 × 6371000     		dr = 19424.09593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28532043-0.28838839) × cos(0.11327158) × R
    0.00306795999999998 × 0.993591630835469 × 6371000     		do = 19420.7153483106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28532043-0.28838839) × cos(0.11022275) × R
    0.00306795999999998 × 0.993931620181548 × 6371000     		du = 19427.3607709437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11327158)-sin(0.11022275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993591630835469-0.993931620181548)×R²
    abs(0.28838839-0.28532043)×0.00033998934607915×R²
    0.00306795999999998×0.00033998934607915×6371000²
    0.00306795999999998×0.00033998934607915×40589641000000     		ar = 377294670.875835m²