Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1117 / 3272
↖ ↑ ↗
← S 72.607120°
W 81.826172°		 ← 2 921.36 m → S 72.607120°
W 81.738281°		 →
↑
2 919.26 m
↓
↑
2 919.26 m
↓
S 72.633374°
W 81.826172°		 ← 2 917.09 m →
8 521 968 m²		 S 72.633374°
W 81.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2728271484375 y=0.7989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2728271484375 × 212)
    floor (0.2728271484375 × 4096)
    floor (1117.5)     		tx = 1117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7989501953125 × 212)
    floor (0.7989501953125 × 4096)
    floor (3272.5)     		ty = 3272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1117 / 3272 ti = "12/1117/3272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1117/3272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1117 ÷ 212
    1117 ÷ 4096     		x = 0.272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3272 ÷ 212
    3272 ÷ 4096     		y = 0.798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.45458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42813611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798828125 × 2 - 1) × π
    -0.59765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87759248431836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42813611} λ = -1.42813611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87759248431836))-π/2
    2×atan(0.15295791140063)-π/2
    2×0.151781507717093-π/2
    0.303563015434187-1.57079632675     		φ = -1.26723331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42813611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.826172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26723331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.607120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1117 KachelY 3272 -1.42813611 -1.26723331 -81.826172 -72.607120
    Oben rechts KachelX + 1 1118 KachelY 3272 -1.42660213 -1.26723331 -81.738281 -72.607120
    Unten links KachelX 1117 KachelY + 1 3273 -1.42813611 -1.26769152 -81.826172 -72.633374
    Unten rechts KachelX + 1 1118 KachelY + 1 3273 -1.42660213 -1.26769152 -81.738281 -72.633374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26723331--1.26769152) × R
    0.000458210000000125 × 6371000     		dl = 2919.2559100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26723331--1.26769152) × R
    0.000458210000000125 × 6371000     		dr = 2919.2559100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42813611--1.42660213) × cos(-1.26723331) × R
    0.00153398000000005 × 0.298922203589153 × 6371000     		do = 2921.3626841409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42813611--1.42660213) × cos(-1.26769152) × R
    0.00153398000000005 × 0.298484912738259 × 6371000     		du = 2917.08904652356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26723331)-sin(-1.26769152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298922203589153-0.298484912738259)×R²
    abs(-1.42660213--1.42813611)×0.000437290850893446×R²
    0.00153398000000005×0.000437290850893446×6371000²
    0.00153398000000005×0.000437290850893446×40589641000000     		ar = 8521967.50910148m²