Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11169 / 23647
↖ ↑ ↗
← S 62.098742°
W 57.293701°		 ← 571.67 m → S 62.098742°
W 57.282715°		 →
↑
571.61 m
↓
↑
571.61 m
↓
S 62.103883°
W 57.293701°		 ← 571.57 m →
326 740 m²		 S 62.103883°
W 57.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340866088867188 y=0.721664428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340866088867188 × 215)
    floor (0.340866088867188 × 32768)
    floor (11169.5)     		tx = 11169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721664428710938 × 215)
    floor (0.721664428710938 × 32768)
    floor (23647.5)     		ty = 23647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11169 / 23647 ti = "15/11169/23647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11169/23647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11169 ÷ 215
    11169 ÷ 32768     		x = 0.340850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23647 ÷ 215
    23647 ÷ 32768     		y = 0.721649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.31829833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.99996373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.44329833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39266280776187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99996373} λ = -0.99996373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39266280776187))-π/2
    2×atan(0.248412947233787)-π/2
    2×0.243484409527003-π/2
    0.486968819054006-1.57079632675     		φ = -1.08382751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99996373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08382751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.098742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11169 KachelY 23647 -0.99996373 -1.08382751 -57.293701 -62.098742
    Oben rechts KachelX + 1 11170 KachelY 23647 -0.99977198 -1.08382751 -57.282715 -62.098742
    Unten links KachelX 11169 KachelY + 1 23648 -0.99996373 -1.08391723 -57.293701 -62.103883
    Unten rechts KachelX + 1 11170 KachelY + 1 23648 -0.99977198 -1.08391723 -57.282715 -62.103883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08382751--1.08391723) × R
    8.97199999998488e-05 × 6371000     		dl = 571.606119999037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08382751--1.08391723) × R
    8.97199999998488e-05 × 6371000     		dr = 571.606119999037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99996373--0.99977198) × cos(-1.08382751) × R
    0.000191750000000046 × 0.4679492176539 × 6371000     		do = 571.665131292934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99996373--0.99977198) × cos(-1.08391723) × R
    0.000191750000000046 × 0.467869925240023 × 6371000     		du = 571.568264567915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08382751)-sin(-1.08391723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4679492176539-0.467869925240023)×R²
    abs(-0.99977198--0.99996373)×7.92924138764417e-05×R²
    0.000191750000000046×7.92924138764417e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.92924138764417e-05×40589641000000     		ar = 326739.603049847m²