Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11168 / 23639
↖ ↑ ↗
← S 62.057586°
W 57.304687°		 ← 572.41 m → S 62.057586°
W 57.293701°		 →
↑
572.37 m
↓
↑
572.37 m
↓
S 62.062733°
W 57.304687°		 ← 572.31 m →
327 603 m²		 S 62.062733°
W 57.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340835571289062 y=0.721420288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340835571289062 × 215)
    floor (0.340835571289062 × 32768)
    floor (11168.5)     		tx = 11168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721420288085938 × 215)
    floor (0.721420288085938 × 32768)
    floor (23639.5)     		ty = 23639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11168 / 23639 ti = "15/11168/23639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11168/23639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11168 ÷ 215
    11168 ÷ 32768     		x = 0.3408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23639 ÷ 215
    23639 ÷ 32768     		y = 0.721405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.44281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39112882697403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00015547} λ = -1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39112882697403))-π/2
    2×atan(0.248794300341686)-π/2
    2×0.243843565444785-π/2
    0.487687130889569-1.57079632675     		φ = -1.08310920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08310920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.057586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11168 KachelY 23639 -1.00015547 -1.08310920 -57.304687 -62.057586
    Oben rechts KachelX + 1 11169 KachelY 23639 -0.99996373 -1.08310920 -57.293701 -62.057586
    Unten links KachelX 11168 KachelY + 1 23640 -1.00015547 -1.08319904 -57.304687 -62.062733
    Unten rechts KachelX + 1 11169 KachelY + 1 23640 -0.99996373 -1.08319904 -57.293701 -62.062733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08310920--1.08319904) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dl = 572.370640000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08310920--1.08319904) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dr = 572.370640000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00015547--0.99996373) × cos(-1.08310920) × R
    0.000191739999999885 × 0.468583907185556 × 6371000     		do = 572.410639455162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00015547--0.99996373) × cos(-1.08319904) × R
    0.000191739999999885 × 0.468504538932068 × 6371000     		du = 572.313685138048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08310920)-sin(-1.08319904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468583907185556-0.468504538932068)×R²
    abs(-0.99996373--1.00015547)×7.93682534882545e-05×R²
    0.000191739999999885×7.93682534882545e-05×6371000²
    0.000191739999999885×7.93682534882545e-05×40589641000000     		ar = 327603.297366612m²