Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11167 / 23904
↖ ↑ ↗
← S 63.391522°
W 57.315674°		 ← 547.16 m → S 63.391522°
W 57.304687°		 →
↑
547.14 m
↓
↑
547.14 m
↓
S 63.396442°
W 57.315674°		 ← 547.07 m →
299 349 m²		 S 63.396442°
W 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340805053710938 y=0.729507446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340805053710938 × 215)
    floor (0.340805053710938 × 32768)
    floor (11167.5)     		tx = 11167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729507446289062 × 215)
    floor (0.729507446289062 × 32768)
    floor (23904.5)     		ty = 23904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11167 / 23904 ti = "15/11167/23904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11167/23904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11167 ÷ 215
    11167 ÷ 32768     		x = 0.340789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23904 ÷ 215
    23904 ÷ 32768     		y = 0.7294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.31842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00034722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7294921875 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00034722} λ = -1.00034722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44194194057129))-π/2
    2×atan(0.236468105509096)-π/2
    2×0.232202777265412-π/2
    0.464405554530824-1.57079632675     		φ = -1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00034722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11167 KachelY 23904 -1.00034722 -1.10639077 -57.315674 -63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 11168 KachelY 23904 -1.00015547 -1.10639077 -57.304687 -63.391522
    Unten links KachelX 11167 KachelY + 1 23905 -1.00034722 -1.10647665 -57.315674 -63.396442
    Unten rechts KachelX + 1 11168 KachelY + 1 23905 -1.00015547 -1.10647665 -57.304687 -63.396442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10639077--1.10647665) × R
    8.58800000000937e-05 × 6371000     		dl = 547.141480000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10639077--1.10647665) × R
    8.58800000000937e-05 × 6371000     		dr = 547.141480000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00034722--1.00015547) × cos(-1.10639077) × R
    0.000191750000000157 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 547.161709204621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00034722--1.00015547) × cos(-1.10647665) × R
    0.000191750000000157 × 0.447814610166313 × 6371000     		du = 547.067904503065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10639077)-sin(-1.10647665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.447814610166313)×R²
    abs(-1.00015547--1.00034722)×7.67859264145798e-05×R²
    0.000191750000000157×7.67859264145798e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.67859264145798e-05×40589641000000     		ar = 299349.20533637m²