Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11167 / 23662
↖ ↑ ↗
← S 62.175760°
W 57.315674°		 ← 570.21 m → S 62.175760°
W 57.304687°		 →
↑
570.14 m
↓
↑
570.14 m
↓
S 62.180887°
W 57.315674°		 ← 570.12 m →
325 074 m²		 S 62.180887°
W 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340805053710938 y=0.722122192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340805053710938 × 215)
    floor (0.340805053710938 × 32768)
    floor (11167.5)     		tx = 11167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722122192382812 × 215)
    floor (0.722122192382812 × 32768)
    floor (23662.5)     		ty = 23662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11167 / 23662 ti = "15/11167/23662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11167/23662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11167 ÷ 215
    11167 ÷ 32768     		x = 0.340789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23662 ÷ 215
    23662 ÷ 32768     		y = 0.72210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.31842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00034722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.4442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39553902173907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00034722} λ = -1.00034722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39553902173907))-π/2
    2×atan(0.247699484969753)-π/2
    2×0.242812303251806-π/2
    0.485624606503613-1.57079632675     		φ = -1.08517172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00034722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08517172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.175760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11167 KachelY 23662 -1.00034722 -1.08517172 -57.315674 -62.175760
    Oben rechts KachelX + 1 11168 KachelY 23662 -1.00015547 -1.08517172 -57.304687 -62.175760
    Unten links KachelX 11167 KachelY + 1 23663 -1.00034722 -1.08526121 -57.315674 -62.180887
    Unten rechts KachelX + 1 11168 KachelY + 1 23663 -1.00015547 -1.08526121 -57.304687 -62.180887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08517172--1.08526121) × R
    8.94900000001364e-05 × 6371000     		dl = 570.140790000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08517172--1.08526121) × R
    8.94900000001364e-05 × 6371000     		dr = 570.140790000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00034722--1.00015547) × cos(-1.08517172) × R
    0.000191750000000157 × 0.46676084245545 × 6371000     		do = 570.213365507111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00034722--1.00015547) × cos(-1.08526121) × R
    0.000191750000000157 × 0.466681697099995 × 6371000     		du = 570.116678434432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08517172)-sin(-1.08526121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46676084245545-0.466681697099995)×R²
    abs(-1.00015547--1.00034722)×7.91453554549459e-05×R²
    0.000191750000000157×7.91453554549459e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.91453554549459e-05×40589641000000     		ar = 325074.336273808m²