Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11164 / 23658
↖ ↑ ↗
← S 62.155241°
W 57.348633°		 ← 570.57 m → S 62.155241°
W 57.337647°		 →
↑
570.52 m
↓
↑
570.52 m
↓
S 62.160372°
W 57.348633°		 ← 570.47 m →
325 496 m²		 S 62.160372°
W 57.337647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340713500976562 y=0.722000122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340713500976562 × 215)
    floor (0.340713500976562 × 32768)
    floor (11164.5)     		tx = 11164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722000122070312 × 215)
    floor (0.722000122070312 × 32768)
    floor (23658.5)     		ty = 23658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11164 / 23658 ti = "15/11164/23658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11164/23658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11164 ÷ 215
    11164 ÷ 32768     		x = 0.3406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23658 ÷ 215
    23658 ÷ 32768     		y = 0.72198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00092246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39477203134515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00092246} λ = -1.00092246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39477203134515))-π/2
    2×atan(0.24788954097155)-π/2
    2×0.242991364512081-π/2
    0.485982729024162-1.57079632675     		φ = -1.08481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00092246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.155241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11164 KachelY 23658 -1.00092246 -1.08481360 -57.348633 -62.155241
    Oben rechts KachelX + 1 11165 KachelY 23658 -1.00073072 -1.08481360 -57.337647 -62.155241
    Unten links KachelX 11164 KachelY + 1 23659 -1.00092246 -1.08490315 -57.348633 -62.160372
    Unten rechts KachelX + 1 11165 KachelY + 1 23659 -1.00073072 -1.08490315 -57.337647 -62.160372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08481360--1.08490315) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dl = 570.523049999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08481360--1.08490315) × R
    8.95499999999938e-05 × 6371000     		dr = 570.523049999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00092246--1.00073072) × cos(-1.08481360) × R
    0.000191739999999996 × 0.4670775279652 × 6371000     		do = 570.570483445942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00092246--1.00073072) × cos(-1.08490315) × R
    0.000191739999999996 × 0.466998344516887 × 6371000     		du = 570.47375488231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08481360)-sin(-1.08490315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4670775279652-0.466998344516887)×R²
    abs(-1.00073072--1.00092246)×7.91834483130915e-05×R²
    0.000191739999999996×7.91834483130915e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.91834483130915e-05×40589641000000     		ar = 325496.019735645m²