Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11163 / 23659
↖ ↑ ↗
← S 62.160372°
W 57.359619°		 ← 570.50 m → S 62.160372°
W 57.348633°		 →
↑
570.46 m
↓
↑
570.46 m
↓
S 62.165502°
W 57.359619°		 ← 570.41 m →
325 421 m²		 S 62.165502°
W 57.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340682983398438 y=0.722030639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340682983398438 × 215)
    floor (0.340682983398438 × 32768)
    floor (11163.5)     		tx = 11163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722030639648438 × 215)
    floor (0.722030639648438 × 32768)
    floor (23659.5)     		ty = 23659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11163 / 23659 ti = "15/11163/23659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11163/23659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11163 ÷ 215
    11163 ÷ 32768     		x = 0.340667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23659 ÷ 215
    23659 ÷ 32768     		y = 0.722015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.31866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00111421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.44403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39496377894363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00111421} λ = -1.00111421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39496377894363))-π/2
    2×atan(0.247842013304184)-π/2
    2×0.242946587810777-π/2
    0.485893175621554-1.57079632675     		φ = -1.08490315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00111421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.359619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08490315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.160372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11163 KachelY 23659 -1.00111421 -1.08490315 -57.359619 -62.160372
    Oben rechts KachelX + 1 11164 KachelY 23659 -1.00092246 -1.08490315 -57.348633 -62.160372
    Unten links KachelX 11163 KachelY + 1 23660 -1.00111421 -1.08499269 -57.359619 -62.165502
    Unten rechts KachelX + 1 11164 KachelY + 1 23660 -1.00092246 -1.08499269 -57.348633 -62.165502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08490315--1.08499269) × R
    8.95400000000546e-05 × 6371000     		dl = 570.459340000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08490315--1.08499269) × R
    8.95400000000546e-05 × 6371000     		dr = 570.459340000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00111421--1.00092246) × cos(-1.08490315) × R
    0.000191749999999935 × 0.466998344516887 × 6371000     		do = 570.503507346658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00111421--1.00092246) × cos(-1.08499269) × R
    0.000191749999999935 × 0.46691916616662 × 6371000     		du = 570.406779966222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08490315)-sin(-1.08499269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466998344516887-0.46691916616662)×R²
    abs(-1.00092246--1.00111421)×7.91783502674392e-05×R²
    0.000191749999999935×7.91783502674392e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.91783502674392e-05×40589641000000     		ar = 325421.464967279m²