Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11161 / 23657
↖ ↑ ↗
← S 62.150109°
W 57.381592°		 ← 570.70 m → S 62.150109°
W 57.370606°		 →
↑
570.65 m
↓
↑
570.65 m
↓
S 62.155241°
W 57.381592°		 ← 570.60 m →
325 641 m²		 S 62.155241°
W 57.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340621948242188 y=0.721969604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340621948242188 × 215)
    floor (0.340621948242188 × 32768)
    floor (11161.5)     		tx = 11161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721969604492188 × 215)
    floor (0.721969604492188 × 32768)
    floor (23657.5)     		ty = 23657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11161 / 23657 ti = "15/11161/23657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11161/23657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11161 ÷ 215
    11161 ÷ 32768     		x = 0.340606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23657 ÷ 215
    23657 ÷ 32768     		y = 0.721954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.31878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00149771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.44390869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39458028374667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00149771} λ = -1.00149771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39458028374667))-π/2
    2×atan(0.247937077753106)-π/2
    2×0.243036148805756-π/2
    0.486072297611512-1.57079632675     		φ = -1.08472403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00149771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08472403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.150109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11161 KachelY 23657 -1.00149771 -1.08472403 -57.381592 -62.150109
    Oben rechts KachelX + 1 11162 KachelY 23657 -1.00130596 -1.08472403 -57.370606 -62.150109
    Unten links KachelX 11161 KachelY + 1 23658 -1.00149771 -1.08481360 -57.381592 -62.155241
    Unten rechts KachelX + 1 11162 KachelY + 1 23658 -1.00130596 -1.08481360 -57.370606 -62.155241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08472403--1.08481360) × R
    8.95699999998723e-05 × 6371000     		dl = 570.650469999186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08472403--1.08481360) × R
    8.95699999998723e-05 × 6371000     		dr = 570.650469999186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00149771--1.00130596) × cos(-1.08472403) × R
    0.000191749999999935 × 0.467156725351415 × 6371000     		do = 570.696991590565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00149771--1.00130596) × cos(-1.08481360) × R
    0.000191749999999935 × 0.4670775279652 × 6371000     		du = 570.600240955068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08472403)-sin(-1.08481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467156725351415-0.4670775279652)×R²
    abs(-1.00130596--1.00149771)×7.91973862143691e-05×R²
    0.000191749999999935×7.91973862143691e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.91973862143691e-05×40589641000000     		ar = 325640.901297722m²