Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1116 / 868
↖ ↑ ↗
← N 80.386396°
W130.957031°		 ← 816.06 m → N 80.386396°
W130.913086°		 →
↑
816.38 m
↓
↑
816.38 m
↓
N 80.379054°
W130.957031°		 ← 816.68 m →
666 466 m²		 N 80.379054°
W130.913086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13629150390625 y=0.10601806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13629150390625 × 213)
    floor (0.13629150390625 × 8192)
    floor (1116.5)     		tx = 1116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10601806640625 × 213)
    floor (0.10601806640625 × 8192)
    floor (868.5)     		ty = 868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1116 / 868 ti = "13/1116/868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1116/868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1116 ÷ 213
    1116 ÷ 8192     		x = 0.13623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 868 ÷ 213
    868 ÷ 8192     		y = 0.10595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28563137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10595703125 × 2 - 1) × π
    0.7880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47584499157666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28563137} λ = -2.28563137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47584499157666))-π/2
    2×atan(11.8917512985547)-π/2
    2×1.48690180391174-π/2
    2.97380360782348-1.57079632675     		φ = 1.40300728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28563137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40300728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.386396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1116 KachelY 868 -2.28563137 1.40300728 -130.957031 80.386396
    Oben rechts KachelX + 1 1117 KachelY 868 -2.28486438 1.40300728 -130.913086 80.386396
    Unten links KachelX 1116 KachelY + 1 869 -2.28563137 1.40287914 -130.957031 80.379054
    Unten rechts KachelX + 1 1117 KachelY + 1 869 -2.28486438 1.40287914 -130.913086 80.379054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40300728-1.40287914) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dl = 816.379939999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40300728-1.40287914) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dr = 816.379939999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28563137--2.28486438) × cos(1.40300728) × R
    0.000766989999999801 × 0.167002855534975 × 6371000     		do = 816.058332982281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28563137--2.28486438) × cos(1.40287914) × R
    0.000766989999999801 × 0.167129194618173 × 6371000     		du = 816.675688064594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40300728)-sin(1.40287914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167002855534975-0.167129194618173)×R²
    abs(-2.28486438--2.28563137)×0.000126339083198285×R²
    0.000766989999999801×0.000126339083198285×6371000²
    0.000766989999999801×0.000126339083198285×40589641000000     		ar = 666465.651979198m²