Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1116 / 3273
↖ ↑ ↗
← S 72.633374°
W 81.914062°		 ← 2 917.09 m → S 72.633374°
W 81.826172°		 →
↑
2 914.92 m
↓
↑
2 914.92 m
↓
S 72.659588°
W 81.914062°		 ← 2 912.82 m →
8 496 872 m²		 S 72.659588°
W 81.826172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2725830078125 y=0.7991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2725830078125 × 212)
    floor (0.2725830078125 × 4096)
    floor (1116.5)     		tx = 1116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7991943359375 × 212)
    floor (0.7991943359375 × 4096)
    floor (3273.5)     		ty = 3273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1116 / 3273 ti = "12/1116/3273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1116/3273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1116 ÷ 212
    1116 ÷ 4096     		x = 0.2724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3273 ÷ 212
    3273 ÷ 4096     		y = 0.799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    -0.455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42967009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.59814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42967009} λ = -1.42967009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8791264651062))-π/2
    2×atan(0.152723456773614)-π/2
    2×0.15155240499359-π/2
    0.30310480998718-1.57079632675     		φ = -1.26769152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42967009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26769152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.633374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1116 KachelY 3273 -1.42967009 -1.26769152 -81.914062 -72.633374
    Oben rechts KachelX + 1 1117 KachelY 3273 -1.42813611 -1.26769152 -81.826172 -72.633374
    Unten links KachelX 1116 KachelY + 1 3274 -1.42967009 -1.26814905 -81.914062 -72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 1117 KachelY + 1 3274 -1.42813611 -1.26814905 -81.826172 -72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26769152--1.26814905) × R
    0.000457530000000039 × 6371000     		dl = 2914.92363000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26769152--1.26814905) × R
    0.000457530000000039 × 6371000     		dr = 2914.92363000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42967009--1.42813611) × cos(-1.26769152) × R
    0.00153397999999982 × 0.298484912738259 × 6371000     		do = 2917.08904652314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42967009--1.42813611) × cos(-1.26814905) × R
    0.00153397999999982 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 2912.82114003735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26769152)-sin(-1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298484912738259-0.298048208313173)×R²
    abs(-1.42813611--1.42967009)×0.000436704425085643×R²
    0.00153397999999982×0.000436704425085643×6371000²
    0.00153397999999982×0.000436704425085643×40589641000000     		ar = 8496871.63001623m²