Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1116 / 1444
↖ ↑ ↗
← N 75.095633°
W130.957031°		 ← 1 256.84 m → N 75.095633°
W130.913086°		 →
↑
1 257.32 m
↓
↑
1 257.32 m
↓
N 75.084326°
W130.957031°		 ← 1 257.77 m →
1 580 829 m²		 N 75.084326°
W130.913086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13629150390625 y=0.17633056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13629150390625 × 213)
    floor (0.13629150390625 × 8192)
    floor (1116.5)     		tx = 1116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17633056640625 × 213)
    floor (0.17633056640625 × 8192)
    floor (1444.5)     		ty = 1444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1116 / 1444 ti = "13/1116/1444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1116/1444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1116 ÷ 213
    1116 ÷ 8192     		x = 0.13623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1444 ÷ 213
    1444 ÷ 8192     		y = 0.17626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28563137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17626953125 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03405852467822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28563137} λ = -2.28563137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03405852467822))-π/2
    2×atan(7.64505110926791)-π/2
    2×1.44073118588072-π/2
    2.88146237176145-1.57079632675     		φ = 1.31066605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28563137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31066605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.095633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1116 KachelY 1444 -2.28563137 1.31066605 -130.957031 75.095633
    Oben rechts KachelX + 1 1117 KachelY 1444 -2.28486438 1.31066605 -130.913086 75.095633
    Unten links KachelX 1116 KachelY + 1 1445 -2.28563137 1.31046870 -130.957031 75.084326
    Unten rechts KachelX + 1 1117 KachelY + 1 1445 -2.28486438 1.31046870 -130.913086 75.084326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31066605-1.31046870) × R
    0.000197350000000096 × 6371000     		dl = 1257.31685000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31066605-1.31046870) × R
    0.000197350000000096 × 6371000     		dr = 1257.31685000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28563137--2.28486438) × cos(1.31066605) × R
    0.000766989999999801 × 0.257206447899179 × 6371000     		do = 1256.83758180375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28563137--2.28486438) × cos(1.31046870) × R
    0.000766989999999801 × 0.257397153340222 × 6371000     		du = 1257.76946266177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31066605)-sin(1.31046870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257206447899179-0.257397153340222)×R²
    abs(-2.28486438--2.28563137)×0.000190705441042716×R²
    0.000766989999999801×0.000190705441042716×6371000²
    0.000766989999999801×0.000190705441042716×40589641000000     		ar = 1580828.90919998m²