Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11158 / 6834
↖ ↑ ↗
← N 80.486784°
W118.707275°		 ← 100.95 m → N 80.486784°
W118.701782°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
N 80.485876°
W118.707275°		 ← 100.96 m →
10 194 m²		 N 80.485876°
W118.701782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170265197753906 y=0.104286193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170265197753906 × 216)
    floor (0.170265197753906 × 65536)
    floor (11158.5)     		tx = 11158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104286193847656 × 216)
    floor (0.104286193847656 × 65536)
    floor (6834.5)     		ty = 6834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11158 / 6834 ti = "16/11158/6834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11158/6834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11158 ÷ 216
    11158 ÷ 65536     		x = 0.170257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6834 ÷ 216
    6834 ÷ 65536     		y = 0.104278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.65948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07183280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104278564453125 × 2 - 1) × π
    0.79144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48639110949307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07183280} λ = -2.07183280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48639110949307))-π/2
    2×atan(12.0178267447294)-π/2
    2×1.48777785686016-π/2
    2.97555571372033-1.57079632675     		φ = 1.40475939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07183280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40475939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.486784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11158 KachelY 6834 -2.07183280 1.40475939 -118.707275 80.486784
    Oben rechts KachelX + 1 11159 KachelY 6834 -2.07173693 1.40475939 -118.701782 80.486784
    Unten links KachelX 11158 KachelY + 1 6835 -2.07183280 1.40474354 -118.707275 80.485876
    Unten rechts KachelX + 1 11159 KachelY + 1 6835 -2.07173693 1.40474354 -118.701782 80.485876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40475939-1.40474354) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dl = 100.980350000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40475939-1.40474354) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dr = 100.980350000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07183280--2.07173693) × cos(1.40475939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16527509598984 × 6371000     		do = 100.948007316168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07183280--2.07173693) × cos(1.40474354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165290727992046 × 6371000     		du = 100.957555151936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40475939)-sin(1.40474354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16527509598984-0.165290727992046)×R²
    abs(-2.07173693--2.07183280)×1.56320022055012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56320022055012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56320022055012e-05×40589641000000     		ar = 10194.2471829011m²